時間：2023-09-08 09:29:06
緒論：在尋找寫作靈感嗎？愛發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇分?jǐn)?shù)乘除法的規(guī)律，愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維，激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
關(guān)鍵詞：思維；概念發(fā)展；乘除法意義
眾所周知，數(shù)學(xué)概念本身有著嚴(yán)密的體系，且總是隨著客觀事物本身的發(fā)展變化和研究的深入不斷地發(fā)展演變。學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的認(rèn)識，也需要隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的程度的提高，由淺入深，逐步深化。因此，教師必須處理好概念自身的連續(xù)性和學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性之間的矛盾，隨著數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的深入，關(guān)注學(xué)生對同系概念含義的更新與重構(gòu)，使概念趨于完善。然而現(xiàn)實中，教師往往比較注重概念的階段性學(xué)習(xí)，而忽視了在后續(xù)教學(xué)中的關(guān)聯(lián)、更新與重構(gòu)，造成概念順應(yīng)上的“脫節(jié)”，使學(xué)習(xí)效果大打折扣。下面以“乘除法意義的發(fā)展”為例，通過列舉學(xué)生在解決小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法問題時的常見錯誤，分析學(xué)生在學(xué)習(xí)乘除法意義時的思維過程，進(jìn)而提出改進(jìn)策略。
一、問卷引發(fā)的思考
筆者曾對五六年級學(xué)生作了一項問卷調(diào)查，了解學(xué)生對乘除法意義的掌握及相應(yīng)的解決問題能力。為了便于比較，問卷以題組形式呈現(xiàn)：
題組1：
一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？
一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？
題組2：
2升桔汁的售價為8元，每升桔汁的售價是多少？
升桔汁的售價為4元，每升桔汁的售價是多少？
題組3：
某種農(nóng)藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？
某種農(nóng)藥 千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑 公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？
應(yīng)該說，這種以相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的問題是很有暗示性的，且題目本身也相當(dāng)基礎(chǔ)，然而問卷結(jié)果卻表現(xiàn)出了明顯的差異：40位被測學(xué)生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達(dá)98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學(xué)生對第一學(xué)段學(xué)習(xí)的乘除法問題掌握較好，進(jìn)入第二學(xué)段卻暴露出了明顯的問題。具體看學(xué)生的錯誤類型，多是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應(yīng)的問題，或是選擇了除法，但不知將哪個數(shù)當(dāng)被除數(shù)（如題組2第二題，很多學(xué)生用4× 或 ÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數(shù)量關(guān)系教學(xué)這一角度去分析，但這不應(yīng)被等同于學(xué)生的實際思維過程，只有立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，探求已有經(jīng)驗對學(xué)生產(chǎn)生的影響及數(shù)域擴(kuò)展后給學(xué)生帶來的乘除法學(xué)習(xí)障礙，才能真正厘清學(xué)生的思維走向，進(jìn)而對癥下藥。
二、分析與詮釋
毫無疑問，在乘除法教學(xué)中，意義的教學(xué)是首要的?？v觀整個小學(xué)階段，乘除法意義實際上呈現(xiàn)不斷發(fā)展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發(fā)展過程（如負(fù)數(shù)、無理數(shù)等概念引進(jìn)后的擴(kuò)展）中的一個環(huán)節(jié)。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學(xué)習(xí)階段性十分明顯，教師無疑會限于并強(qiáng)調(diào)“同數(shù)連加”的意義，這時學(xué)生所形成的內(nèi)在表征就會有較大的局限性。特別是，由于學(xué)生在開始學(xué)習(xí)乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數(shù)的乘除，從而就很容易形成以下的觀念：“乘法總是使數(shù)變大，除法則總是使數(shù)變?。怀顺ㄖ懈鞑糠侄际钦麛?shù)?！钡搅说诙W(xué)段，數(shù)概念得到了進(jìn)一步擴(kuò)展，此時教師更多關(guān)注計算本身，對于乘除運(yùn)算意義一般都只是寥寥數(shù)語帶過，或簡單地以“與整數(shù)乘除法意義相同”過場，而恰恰忽視了乘除運(yùn)算意義在新數(shù)域的推廣過程及所獲得的新的含義，以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的 是多少？”，相應(yīng)的除法則是“求取整體”，即如“已知一個數(shù)的 是4，求這個數(shù)？”
顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發(fā)生也就不足為奇了，因為，這在很大程度上反映了這樣的現(xiàn)實：第一組中，學(xué)生依據(jù)直覺意識到第二個問題的答案應(yīng)小于15，進(jìn)而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數(shù)變大，而只有除法才能使數(shù)變小，因此，選擇了除法；第二組中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，而學(xué)生頭腦中的乘除法各部分應(yīng)是整數(shù)，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數(shù)放在前面；第三組第二題則是與學(xué)生之前建立的“同數(shù)連加”的乘法意義相沖突，因為這時分?jǐn)?shù)的乘法顯然已不能看成“重復(fù)的加法”，而是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。
事實上，以上盡管通過分析學(xué)生思維找到了其錯誤的根源，但我們也應(yīng)看到這種錯誤的“合理性”，站在學(xué)生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數(shù)乘除的某些“規(guī)律”錯誤地推廣到了正有理數(shù)的情況，這當(dāng)然應(yīng)當(dāng)被看成學(xué)生思維發(fā)展的一個必然過程。關(guān)鍵是，作為教師應(yīng)清楚地認(rèn)識學(xué)生在乘除法意義學(xué)習(xí)中的局限性和困難，采取適當(dāng)?shù)拇胧┮龑?dǎo)學(xué)生較為自覺地去實現(xiàn)對乘除法意義的必要的推廣與更新。
三、小學(xué)階段發(fā)展乘除法意義的策略研究
（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解
格里爾在“作為情境模型的乘除法”一文中指出：為了使純形式的推廣在直觀上能夠被接受，必須輔以一些具體情境，在其中所說的推廣可以被認(rèn)為十分必要和完全合理的。對于乘除法意義本身而言，其內(nèi)容是很枯燥的，但它植根于現(xiàn)實的沃土，意蘊(yùn)豐富。在第二學(xué)段的教學(xué)中，我們?nèi)詰?yīng)牢牢把握情境這條主線，實現(xiàn)乘除法意義的內(nèi)涵發(fā)展。
在小學(xué)階段，乘除法意義大致有以下幾種：
（1）等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數(shù)的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數(shù)”、“份數(shù)”，從而，也就有兩種不同的除法逆運(yùn)算，即通常所說的“平均分”、“包含除”。
（2）倍數(shù)問題。
（3）配對問題。
（4）長方形的面積。
這幾種原型在第一學(xué)段均已出現(xiàn)，但在學(xué)生頭腦中的印象是淺顯的、零散的，僅限于正整數(shù)，且并未形成對乘法意義的階段性完整認(rèn)識。隨著學(xué)生數(shù)概念的發(fā)展，相應(yīng)的乘法意義應(yīng)與其相互促進(jìn)。在教學(xué)中，教師仍應(yīng)努力豐富學(xué)生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。
如在五上“小數(shù)乘法”單元，筆者設(shè)計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達(dá)“1.3×5”的意義。
經(jīng)過充分的思考、討論、交流，學(xué)生中產(chǎn)生很多想法：有的編制了購物、長度、質(zhì)量、面積等數(shù)學(xué)問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數(shù)域中的認(rèn)識表征。此時，我不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生對作品進(jìn)行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學(xué)生在整理后發(fā)現(xiàn)：1.3×5既可以表示5個1.3（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數(shù)問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學(xué)生原先停留在正整數(shù)領(lǐng)域中的乘法意義有了進(jìn)一步的發(fā)展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數(shù)領(lǐng)域的本質(zhì)推廣與延伸。
（二）制造沖突，促進(jìn)學(xué)生對概念的主動更新
建構(gòu)主義認(rèn)為，對于學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中發(fā)生的錯誤不應(yīng)單純依靠正面的示范和反復(fù)練習(xí)去糾正，而應(yīng)以引發(fā)主體內(nèi)在的“觀念沖突”為必要前提，使其經(jīng)歷“自我否定”的過程。高年級學(xué)生正處于形象思維向抽象思維發(fā)展的過渡階段，已經(jīng)具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學(xué)生，缺少學(xué)習(xí)主體的自我內(nèi)化過程，那么概念的發(fā)展就如浮光掠影。因此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生概念沖突的情境，引燃學(xué)生思維的火花，引導(dǎo)學(xué)生主動對先前的乘除法意義的認(rèn)識作出必要的調(diào)整，將新的含義悅納到已有的知識體系中。
以分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)為例，一位教師在教學(xué)中出現(xiàn)這樣一組情境：
（1）我的繩子長 米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？
（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的 ，小明的繩子有多長？
引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是 ×3，表示的意義相同嗎？這就引發(fā)學(xué)生的思維沖突：如果說第一題可用“3個 ”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學(xué)生很直接地感受到只用以前的“同數(shù)連加”的乘法意義已不足以解釋分?jǐn)?shù)乘法出現(xiàn)的新問題，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，有了擴(kuò)展新含義的需要。
在此基礎(chǔ)上，教師及時引導(dǎo)學(xué)生對第二題的算式意義進(jìn)行研究，注意其發(fā)展變化。并指出在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，既包含了原來的“整數(shù)倍”、“小數(shù)倍”，也包括了這節(jié)課所學(xué)的“一個數(shù)的幾分之幾是多少”。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了“沖突——建構(gòu)——順應(yīng)”的學(xué)習(xí)過程，新概念的融入便不再是教師強(qiáng)加，而是主動的更新與順應(yīng)。
（三）提取本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換關(guān)注視角
前文的分析中曾提及，學(xué)生在數(shù)域擴(kuò)展后，容易將在整數(shù)乘除法意義學(xué)習(xí)中的一些“規(guī)律”錯誤地推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法學(xué)習(xí)中，繁雜的數(shù)據(jù)構(gòu)成了學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法中的一大障礙。面對新題目，學(xué)生往往更多地關(guān)注情境中所包含的數(shù)量，而不注意其中的文字內(nèi)容，以及內(nèi)容背后的運(yùn)算意義。對此，教師不妨立足學(xué)生的思維方式，化繁為簡，抓住本質(zhì)，以此修正認(rèn)識誤區(qū)。
基于這樣的思考，筆者在實踐中進(jìn)行了嘗試。以分?jǐn)?shù)的除法意義教學(xué)為例，教材在編排中已經(jīng)考慮到了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，采用由整數(shù)乘除法改編數(shù)據(jù)后過渡到分?jǐn)?shù)乘除法的方式，幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同”，即“分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算”。從表面上看，學(xué)生通過舊有知識已經(jīng)促成了新知理解，而事實上，學(xué)生此時的理解僅僅是在特定題組中的，脫離題組這根“拐杖”，學(xué)生又會受到數(shù)據(jù)的干擾。因此，我緊接著出示了一組題，要求學(xué)生只列式不計算：
（1）把 平均分成2份，每份是多少？
（2） 里面有幾個1/5？
（3）10是 的幾倍？
（4）一個數(shù)的是 是8，這個數(shù)是多少？
（5）兩個因數(shù)的積是 ，其中一個因數(shù)是 ，另一個因數(shù)是幾？
可以發(fā)現(xiàn)，這組題雖然脫離了具體的情境，但都直指除法意義本身。在學(xué)生列式后，我追問：你是憑什么選擇用除法計算的？是否用除法計算，與題目中的數(shù)據(jù)有關(guān)嗎？這時，學(xué)生就會走出情境，思考題目背后的意義，思考自己選擇的初衷。“分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法相同”，但具體表現(xiàn)在哪些地方呢？“平均分”、“包含除”、“倍數(shù)問題逆運(yùn)算”、“已知部分求整體”等，這些都是除法意義在具體問題中的結(jié)構(gòu)本原。學(xué)生知道了這一點，也就能避開數(shù)據(jù)產(chǎn)生的干擾，而更關(guān)注于問題本身的含義，將視角從“關(guān)注數(shù)據(jù)”轉(zhuǎn)換到“關(guān)注意義”中來，進(jìn)而，在面對復(fù)雜的情境、復(fù)雜的數(shù)據(jù)時，能以運(yùn)算意義為依托，將問題簡化。
綜上所述，小學(xué)階段乘除法意義的教學(xué)應(yīng)著力在階段性與發(fā)展性之間尋求平衡。換言之，對于任何數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師都要立足于學(xué)生的思維狀態(tài)，關(guān)注其對概念的不斷更新、發(fā)展、重構(gòu)，及時排除概念發(fā)展中的障礙，從而達(dá)成概念教學(xué)效果的最大化。
參考文獻(xiàn)：
一、問卷引發(fā)的思考
筆者曾對五、六年級學(xué)生作過一項問卷調(diào)查，了解學(xué)生對乘除法意義的掌握及相應(yīng)的解決問題能力的情況。為了便于比較，問卷以題組形式呈現(xiàn)。
題組1：
一種餅干的售價為每千克15元，3千克這樣的餅干售價是多少？
一種餅干的售價為每千克15元，0.3千克這樣的餅干售價是多少？
題組2：
2升橘汁的售價為8元，每升橘汁的售價是多少？
升橘汁的售價為4元，每升橘汁的售價是多少？
題組3：
某種農(nóng)藥2千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑6公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？
某種農(nóng)藥千克加水稀釋后可噴灑1公頃麥地，噴灑公頃麥地需要多少千克農(nóng)藥？
應(yīng)該說，這種以相同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的問題是很有暗示性的，且題目也是一些基礎(chǔ)題，然而問卷結(jié)果卻表現(xiàn)出了明顯的差異：40位被測學(xué)生中，每項題組中的第一題綜合正確率高達(dá)98.3%，而第二題的綜合正確率僅為67.5%。這說明，學(xué)生對第一學(xué)段學(xué)習(xí)的乘除法問題掌握得較好，進(jìn)入第二學(xué)段卻暴露出了問題。具體看學(xué)生的錯誤類型，都是不知道該選擇乘法還是除法來解決相應(yīng)的問題，或是選擇了除法，但不知哪個數(shù)是被除數(shù)（如題組2第二題，很多學(xué)生用4×或÷4來解決）。筆者以為，此類問題的存在固然可以從數(shù)量關(guān)系教學(xué)這一角度去分析，但這不應(yīng)被等同于學(xué)生的實際思維過程，只有立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，探求已有經(jīng)驗對學(xué)生產(chǎn)生的影響及數(shù)域擴(kuò)展后給學(xué)生帶來的乘除法學(xué)習(xí)障礙，才能真正厘清學(xué)生的思維走向，進(jìn)而對癥下藥。
二、分析與詮釋
毫無疑問，在乘除法教學(xué)中，意義的教學(xué)是首要的?？v觀整個小學(xué)階段，乘除法意義實際上呈現(xiàn)了不斷發(fā)展的特點，這同時又可看成一個更為漫長的發(fā)展過程中的一個環(huán)節(jié)（如負(fù)數(shù)、無理數(shù)等概念引進(jìn)后的擴(kuò)展）。從宏觀的角度看，二年級的乘除法意義學(xué)習(xí)階段性十分明顯，教師無疑會限于并強(qiáng)調(diào)“同數(shù)連加”的意義，這時學(xué)生所形成的內(nèi)在表征就會有較大的局限性。特別是由于學(xué)生在開始學(xué)習(xí)乘除法時所接觸到的都是比較簡單的情況，也即主要局限于正整數(shù)的乘除，從而就很容易形成以下觀念：“乘法總是使數(shù)變大，除法則總是使數(shù)變??；乘除法中各部分都是整數(shù)。”到了第二學(xué)段，數(shù)概念得到了進(jìn)一步擴(kuò)展，此時教師更多關(guān)注的是計算本身，對乘除法運(yùn)算意義一般都只是寥寥數(shù)語帶過，或簡單地以“與整數(shù)乘除法意義相同”走過場，而恰恰忽視了乘除法運(yùn)算意義在新數(shù)域的推廣過程及所獲得的新的含義。以乘法為例，增加了“已知整體求部分”，如“6的是多少”，相應(yīng)的除法則是“求整體”，如“已知一個數(shù)的是4，求這個數(shù)”。
顯然，從這樣的角度去分析，前面所提及的錯誤的發(fā)生也就不足為奇了，因為這在很大程度上反映了這樣的現(xiàn)實：題組1中，學(xué)生依據(jù)直覺意識到第二個問題的答案應(yīng)小于15，進(jìn)而，按照他們已建立的觀念，乘法總是使數(shù)變大，而只有除法才能使數(shù)變小，因此，選擇了除法；題組2中出現(xiàn)了分?jǐn)?shù)，而學(xué)生頭腦中的乘除法各部分應(yīng)是整數(shù)，所以一下子就變得茫然，即便正確選擇了除法，也不知該將哪個數(shù)放在前面；題組3第二題則是與學(xué)生之前建立的“同數(shù)連加”的乘法意義相沖突，因為這時分?jǐn)?shù)的乘法顯然已不能看成“重復(fù)的加法”，而是“求一個數(shù)的幾分之幾是多少”，因此就容易出錯。
事實上，盡管通過分析找到了學(xué)生思維出錯的根源，但也應(yīng)看到這種錯的“合理性”，站在學(xué)生的角度，他們不過是將僅僅適用于正整數(shù)乘除的某些“規(guī)律”錯誤地推廣到了正有理數(shù)中運(yùn)用，這當(dāng)然應(yīng)當(dāng)被看成是學(xué)生思維發(fā)展的一個必然過程。關(guān)鍵是，作為教師應(yīng)清楚地認(rèn)識到學(xué)生在乘除法意義學(xué)習(xí)中的局限性和遇到的困難，采取適當(dāng)?shù)拇胧┮龑?dǎo)學(xué)生較為自覺地去實現(xiàn)對乘除法意義的必要的推廣與更新。
三、小學(xué)階段推廣乘除法意義的策略
（一）豐富原型，加深對意義的多角度理解
對于乘除法意義本身而言，其內(nèi)容是很枯燥的，但它植根于現(xiàn)實的沃土，意蘊(yùn)豐富。在第二學(xué)段的教學(xué)中，教師仍應(yīng)牢牢把握情境這條主線，實現(xiàn)乘除法意義的內(nèi)涵發(fā)展。
在小學(xué)階段，乘除法意義大致有以下幾種。
1.等量組的聚集。即通常所說的“連加”。在這一情境下，兩個因數(shù)的地位并不相同，也就是過去所說的“每份數(shù)”“份數(shù)”，因此，也就有了兩種不同的除法逆運(yùn)算，即通常所說的“平均分”“包含除”。
2.倍數(shù)問題。
3.配對問題。
4.長方形的面積。
這幾種原型在第一學(xué)段均已出現(xiàn)，但在學(xué)生頭腦中的印象是淺顯、零散的，僅限于正整數(shù)，且并未形成對乘法意義的階段性完整認(rèn)識。隨著學(xué)生數(shù)概念的發(fā)展，相應(yīng)的乘法意義應(yīng)與其相互促進(jìn)。在教學(xué)中，教師仍應(yīng)努力豐富學(xué)生頭腦中的乘除法意義原型，提高其對意義的表征能力。
如在五年級上冊“小數(shù)乘法”單元中，筆者設(shè)計了這樣一道題：請用你喜歡的情境表達(dá)“1.3×5”的意義。
經(jīng)過充分的思考、討論、交流，學(xué)生中產(chǎn)生了很多想法：有的編制了購物、長度、質(zhì)量、面積等數(shù)學(xué)問題，有的畫實物圖或線段圖，有的用文字或加法算式直接說明。作品很多，但均從不同角度反映了不同個體對乘法意義在小數(shù)領(lǐng)域中的認(rèn)識表征。此時，筆者不失時機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生對作品進(jìn)行歸類，尋找異同，理解作品背后所表示的意義。學(xué)生在整理后發(fā)現(xiàn)：1.3×5既可以表示5個1.3相加（等量組的聚集），也表示5的1.3倍或1.3的5倍（倍數(shù)問題），還可以用在面積計算中等。也正是在這樣的交流共享中，學(xué)生原先停留在正整數(shù)領(lǐng)域中的乘法意義有了進(jìn)一步的發(fā)展，在豐富的原型中體會到乘法意義在小數(shù)領(lǐng)域的推廣與延伸。
（二）制造沖突，促進(jìn)學(xué)生對概念的主動更新
建構(gòu)主義者認(rèn)為，對于學(xué)生在概念學(xué)習(xí)中發(fā)生的錯誤不應(yīng)單純依靠正面的示范或反復(fù)練習(xí)去糾正，而應(yīng)以引發(fā)主體內(nèi)在的“觀念沖突”為必要前提，使其經(jīng)歷“自我否定”的過程。高年級學(xué)生正處于形象思維向抽象思維發(fā)展的過渡階段，已經(jīng)具備一定的思考能力，如果教師只是簡單地將乘除法意義“教”給學(xué)生，缺少學(xué)習(xí)主體的自我內(nèi)化過程，那么概念的發(fā)展就如浮光掠影。因此，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)能引發(fā)學(xué)生概念沖突的情境，引燃學(xué)生思維的火花，引導(dǎo)學(xué)生主動對先前的乘除法意義的認(rèn)識作出必要的調(diào)整，將新的含義引入到已有的知識體系中。
以分?jǐn)?shù)乘法的教學(xué)為例，一位教師在教學(xué)中展示這樣一組情境：
（1）我的繩子長米，小明的繩長是我的3倍，小明的繩子有多長？
（2）我的繩子長3米，小明的繩長是我的，小明的繩子有多長？
引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖、討論得出算式，反饋時，教師適時追問：都是×3，表示的意義相同嗎？這就引發(fā)了學(xué)生的思維沖突：如果說第一題可用“3個”解釋，那么后一題顯然不能，這題的意義又該怎樣表述？這樣，在對同一算式不同含義的挖掘中，學(xué)生很直接地感受到只用以前的“同數(shù)連加”的乘法意義已不足以解釋分?jǐn)?shù)乘法中出現(xiàn)的新問題，產(chǎn)生了認(rèn)知沖突，有了擴(kuò)展新含義的需要。
在此基礎(chǔ)上，教師及時引導(dǎo)學(xué)生對第二題的算式意義進(jìn)行研究，注意其發(fā)展變化，并指出在引入分?jǐn)?shù)以后，“倍”的概念發(fā)展了，既包含了原來的“整數(shù)倍”“小數(shù)倍”，也包括了這節(jié)課所學(xué)的“一個數(shù)的幾分之幾是多少”。這樣，學(xué)生經(jīng)歷了“沖突―建構(gòu)―順應(yīng)”的學(xué)習(xí)過程，新概念的融入便不再是教師強(qiáng)加，而是主動的更新與順應(yīng)。
（三）提取本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生轉(zhuǎn)換關(guān)注視角
前文的分析中曾提及，學(xué)生在數(shù)域擴(kuò)展后，容易將在整數(shù)乘除法意義學(xué)習(xí)中的一些“規(guī)律”錯誤地推廣到小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法學(xué)習(xí)中，繁雜的數(shù)據(jù)構(gòu)成了學(xué)生在學(xué)習(xí)小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘除法中的一大障礙。面對新題目，學(xué)生往往更多地關(guān)注情境中所包含的數(shù)量，而不注意其中的文字內(nèi)容，以及內(nèi)容背后的運(yùn)算意義。對此，教師不妨立足學(xué)生的思維方式，化繁為簡，抓住本質(zhì)，以此修正認(rèn)識誤區(qū)。
基于這樣的思考，筆者在實踐中進(jìn)行了嘗試。以分?jǐn)?shù)的除法意義教學(xué)為例，教材在編排中已經(jīng)考慮到了學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，采用由整數(shù)乘除法改編數(shù)據(jù)后過渡到分?jǐn)?shù)乘除法的方式，幫助學(xué)生理解“分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同”，即“分?jǐn)?shù)除法是分?jǐn)?shù)乘法的逆運(yùn)算”。從表面上看，學(xué)生通過已有知識已經(jīng)促成了對新知的理解，而事實上，學(xué)生此時的理解僅僅是在特定題組中，脫離了題組這根“拐杖”，學(xué)生又會受到數(shù)據(jù)的干擾。因此，筆者緊接著出示了一組題，要求學(xué)生只列式不計算。
（1）把平均分成2份，每份是多少？
（2）里面有幾個？
（3）10是的幾倍？
（4）一個數(shù)的是8，這個數(shù)是多少？
（5）兩個因數(shù)的積是，其中一個因數(shù)是，另一個因數(shù)是幾？
分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)乘法、除法應(yīng)用題在小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中占有相當(dāng)重要的地位，也占有相當(dāng)大的比例，在日常生活和生產(chǎn)建設(shè)中也有著廣泛的應(yīng)用，是小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)中重要的一部分內(nèi)容。其特點和解題方法表現(xiàn)為：
題目的抽象性、復(fù)雜性和題型的多樣性。
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題雖然復(fù)雜多變，但不外乎有這樣兩種類型：一是：或×或÷；二是：×、÷號的后面或（1+分率）或（1-分率）。究竟什么情況下用乘法，什么情況下用除法的關(guān)鍵是找準(zhǔn)單位“1”。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中單位“1”是有規(guī)律可循的，為了幫助學(xué)生記憶和理解，我編了幾句順口溜：
做題先把“1”來找，加減乘除分清好；是、比、占、相當(dāng)于，前后詞語要分清。前是比較，后“標(biāo)準(zhǔn)”，知“1”用乘，求“1”除，乘除關(guān)系要弄清。無論是乘還是除，數(shù)據(jù)分率要對應(yīng)。這里的“1”，就是單位“1”，也就是“標(biāo)準(zhǔn)量”比較就是比較量。
在有分率句子中的“是”“比”“占”“相當(dāng)于”等詞語后面的量，即是表示單位“1”的量，“的+分率”前是單位“1”，也可以用“的字前、比字后”來判別單位“1”。
一、運(yùn)用比較法，訓(xùn)練形象思維，豐富感知
小學(xué)生由于生活接觸面窄，社會實踐經(jīng)驗少，感性知識比較貧乏，空間想象力差，采用比較的方法進(jìn)行教學(xué)，可使學(xué)生對感性知識獲得較深刻的印象。如在教學(xué)毫米和分米的認(rèn)識（人教版小學(xué)數(shù)學(xué)第五冊）時，因為學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了“1厘米”，為了使學(xué)生對“1毫米、1分米”有比較正確的認(rèn)識，可以讓學(xué)生拿著尺子，對著“1毫米”和“1厘米”的刻度進(jìn)行比較，再拿“1分米”和“1厘米”比較，然后讓學(xué)生用手勢表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的長度，最后讓學(xué)生填空：課桌寬大約是60（），一塊橡皮的長大約是30（），數(shù)學(xué)教本的長度大約是2（）。通過這樣的比較，學(xué)生對這些長度單位就有了比較深刻的印象。同樣，用比較的方法教學(xué)面積單位、體積單位，也會取得很好的教學(xué)效果。
二、運(yùn)用比較法，理解內(nèi)涵，掌握概念
為了使學(xué)生正確地理解和掌握概念，就要揭示概念的本質(zhì)屬性，充分理解其內(nèi)涵，而對事物進(jìn)行比較是揭示概念本質(zhì)屬性和理解內(nèi)涵的重要學(xué)習(xí)方法。如教學(xué)“整除”這個概念時，讓學(xué)生對一些除法算式進(jìn)行比較，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道單有“商是整數(shù)而沒有余數(shù)”這個條件，還不能判斷一個數(shù)能被另一個數(shù)整除，還必須有“被除數(shù)和除數(shù)都是整數(shù)”這個條件才行。通過比較，學(xué)生正確地理解了整除的含義。再如教學(xué)“求比值”和“化簡比”，要從意義、方法和結(jié)果三方面進(jìn)行比較，“求比值”也就是求商，而“化簡比”是把一個比較復(fù)雜的比化成一個最簡單的整數(shù)比；“求比值”和“化簡比”的方法可以通用，都可以用除法計算；“求比值”和“化簡比”的結(jié)果是不同的，“求比值”的結(jié)果是一個“數(shù)”，可以寫成分?jǐn)?shù)、小數(shù)，有時能寫成整數(shù)，而“化簡比”的結(jié)果則是一個“比”，可以寫成真分?jǐn)?shù)或假分?jǐn)?shù)的形式，但是不能寫成帶分?jǐn)?shù)、小數(shù)或整數(shù)。比較以后，學(xué)生才能充分理解“求比值”和“化簡比”的內(nèi)涵。
三、運(yùn)用比較法，新舊知識聯(lián)系，形成知識網(wǎng)絡(luò)
在教學(xué)一個新知識點時，如果能與以往學(xué)過的舊知識相聯(lián)系，進(jìn)行比較，弄清新舊知識的聯(lián)系與區(qū)別，不但容易學(xué)會新知，還鞏固了舊知，并且使知識系統(tǒng)化，形成知識網(wǎng)絡(luò)。如教學(xué)“比的意義”時，將“比”“除法”和“分?jǐn)?shù)”進(jìn)行比較，可列表如下：通過這樣比較，使學(xué)生明確比和除法分?jǐn)?shù)的關(guān)系和區(qū)別，把比、除法、分?jǐn)?shù)聯(lián)系起來，形成知識網(wǎng)，為后面學(xué)習(xí)“比”的應(yīng)用打下基礎(chǔ)。
四、運(yùn)用比較法，區(qū)別應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)
正確選擇解法在應(yīng)用題的教學(xué)中，經(jīng)常應(yīng)用比較的方法來區(qū)別應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)，以便分析數(shù)量關(guān)系，選擇正確的解題方法。如低年級的加減法應(yīng)用題、乘除法應(yīng)用題、高年級的分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。如教學(xué)應(yīng)用題：（1）池塘里有12只鴨和4只鵝，鵝的只數(shù)是鴨的幾分之幾？（2）池塘里有12只鴨，鵝的只數(shù)是鴨的13，池塘里有多少只鵝？（3）池塘里有4只鵝，正好是鴨的只數(shù)的13，池塘里有多少只鴨？通過比較，學(xué)生知道了應(yīng)用題在結(jié)構(gòu)上的相同點和不同點，使他們懂得第（1）題，根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義和分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，要用除法來計算。第（2）題，根據(jù)一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，用乘法計算。第（3）題，根據(jù)一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義，列方程解答，或根據(jù)除法的意義直接用除法計算。通過比較，使學(xué)生了解了分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)和思路的異同，從而能正確解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題。
五、對比練習(xí)，異同結(jié)合
學(xué)習(xí)新課之后，不僅要集中練習(xí)所學(xué)的內(nèi)容，還要練以前學(xué)過的內(nèi)容，特別要練習(xí)與新學(xué)內(nèi)容相似而容易混淆的題目，使學(xué)生既能深刻理解新的知識，又能掌握新舊知識之間的“同”和“異”，區(qū)別應(yīng)用。如練習(xí)“歸一應(yīng)用題”，應(yīng)帶練“歸總應(yīng)用題”；學(xué)完“連除應(yīng)用題”后的練習(xí)，也應(yīng)有“連乘應(yīng)用題”的題目。通過比較它們的解題思路，明確它們之間的相互聯(lián)系，可使各個零碎的知識串成線、聯(lián)成網(wǎng)，從而構(gòu)建起完整的知識結(jié)構(gòu)。這樣的對比練習(xí)也便于學(xué)生辨別和鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、靈活運(yùn)用知識解決實際問題的能力。
六、運(yùn)用比較法，觀察特征，發(fā)現(xiàn)規(guī)律
在畢業(yè)班的教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的錯誤率很高，究其原因除了整數(shù)應(yīng)用題中的數(shù)量關(guān)系不清外，更主要的是由于分?jǐn)?shù)概念的抽象，使學(xué)生不能理解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的數(shù)量關(guān)系，找不準(zhǔn)單位“1”，因而不容易掌握解題規(guī)律和方法。針對上述原因，我作了如下的嘗試：
一、弄清基本概念，加強(qiáng)兩種意義的教學(xué)
“分?jǐn)?shù)的意義”是教學(xué)分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的起點，“一個乘以分?jǐn)?shù)的意義”是解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題的依據(jù)?！扒笠粋€數(shù)的幾分之幾”和“已知一個數(shù)的幾分之幾是多少，求這個數(shù)”的應(yīng)用題，都是根據(jù)這個意義列出乘法算式或方程的。因此，要讓學(xué)生切實理解和掌握“分?jǐn)?shù)的意義”和“一個數(shù)乘以分?jǐn)?shù)的意義”，是進(jìn)行分?jǐn)?shù)應(yīng)用題教學(xué)的關(guān)鍵所在。
1.強(qiáng)化分?jǐn)?shù)意義
所謂“分?jǐn)?shù)”就是把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)。這個概念中有三個知識點：①單位“1”，把要平均分的任何事物看做一個整體，用單位“1”表示，又稱整體“1”。②平均分，分?jǐn)?shù)是建立在平均分的基礎(chǔ)上的。③表示平均分的一份或幾份的數(shù)才叫分?jǐn)?shù)。因此，要強(qiáng)化分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)。重點訓(xùn)練學(xué)生說清分?jǐn)?shù)意義這個概念中的三個重點。
2.強(qiáng)化一個數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義（能充分利用好數(shù)量關(guān)系）
學(xué)好分?jǐn)?shù)乘法意義，對學(xué)好分?jǐn)?shù)應(yīng)用題至關(guān)重要。
（1）溝通整數(shù)乘法意義與分?jǐn)?shù)乘法意義的聯(lián)系：
例：一桶油100千克，1/ 2桶油重多少千克？列式：100×1/2=50（千克）。就是求100的1/2 是多少？ 應(yīng)注意當(dāng)倍數(shù)不滿1時，“倍”字略去。即把100千克平均分成2份表示這樣的1 份。
一桶油100千克，3/4桶油重多少千克？列式：100×3/4=75（千克）。就是求100的3/4 是多少？ 即把100千克平均分成4份表示這樣的3 份。
這樣就溝通了求一個數(shù)的幾倍和求一個數(shù)的幾分之幾之間的聯(lián)系，其實質(zhì)是一樣的，使學(xué)生感到新知不新，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)的信心，也完成了整數(shù)乘法的意義向分?jǐn)?shù)乘法意義的過渡。
二、利用線段圖，掌握規(guī)律
由于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題比整數(shù)應(yīng)用題抽象，因此，學(xué)生更需要借助于線段圖作拐杖。只要能畫出線段圖，題中的數(shù)量關(guān)系便形象、直觀地展現(xiàn)在學(xué)生面前，學(xué)生更易于理解題中的數(shù)量關(guān)系，便于找出解題規(guī)律。
例（1）：一本書共有300頁，看了全書的2/5 ，看了多少頁？（此題是部總關(guān)系的，讓學(xué)生從線段圖中體會部分與總量之間的關(guān)系）指導(dǎo)學(xué)生分三步畫圖：①畫出單位“1”的量；②再畫出全書的2/5；3）、標(biāo)出相應(yīng)的條件和問題。
三、找準(zhǔn)等量關(guān)系的訓(xùn)練
（1）尋找等量關(guān)系的訓(xùn)練要緊緊地聯(lián)系學(xué)生的實際，首先讓學(xué)生讀題后明確是部總關(guān)系還是比較關(guān)系。如：如部總關(guān)系，已知單位“1”的量，和一部分分率，求一部分量；求另一部分量；求一部分量比另一部分量多（少）多少。或反之訓(xùn)練，讓學(xué)生用方程尋找等量關(guān)系。
（2）訓(xùn)練寫等量關(guān)系式。
例：實際用電比原計劃節(jié)約了1/9。
等量關(guān)系式：原計劃×1/9=節(jié)約的；
原計劃- 原計劃的1/9=實際用電
學(xué)生根據(jù)分?jǐn)?shù)的意義，掌握了等量關(guān)系是解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的關(guān)鍵，這樣就可以正確列式計算，還可順利地用方程解答分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題，將分?jǐn)?shù)乘除法的解題思路歸結(jié)在一起。溝通了知識之間的聯(lián)系。運(yùn)用了這種方法分析解題思路，它運(yùn)用了對應(yīng)、轉(zhuǎn)化和代數(shù)的數(shù)學(xué)思想和方法，有利于從算術(shù)解法向代數(shù)解法發(fā)展，有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)量關(guān)系式來分析問題和解決問題的能力，同時也有利于學(xué)生真正學(xué)到一些終身受用的基本思想方法，也完成了分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題向除法應(yīng)用題的過渡。同時也完成了分?jǐn)?shù)基本應(yīng)用題向復(fù)合應(yīng)用題的過渡。
四、變換單位“1”的訓(xùn)練，提高能力
在解答分?jǐn)?shù)乘除法應(yīng)用題時，對“1”的理解、掌握和運(yùn)用也是關(guān)鍵的一環(huán)。尤其是對單位“1”變化規(guī)律的掌握，不僅直接關(guān)系到解題效果，而且對發(fā)展兒童的智力，起著不可忽視的作用。在教學(xué)中學(xué)生對分率的理解是比較困難的，而在分析中如果加強(qiáng)練習(xí)，會取得事半功倍的效果。
例：五（1）班男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。（或男生是女生的80%）
① 女生人數(shù)為單位“1”，男生人數(shù)是女生人數(shù)的4/5。男生比女生少1/5；
②男生人數(shù)為單位“1”，女生人數(shù)是男生人數(shù)的5/4，女生人數(shù)比男生人數(shù)多1/4。
③全班人數(shù)為單位“1”，男生人數(shù)占全班人數(shù)的4/9，女人數(shù)占全班人數(shù)的5/9，男生人數(shù)比女生人數(shù)少全班的1/9。
片段一：加減法，從本質(zhì)上找聯(lián)系
師：（手指黑板上的課題）同學(xué)們今天我們復(fù)習(xí)的內(nèi)容是――四則運(yùn)算。四則運(yùn)算是指哪幾種運(yùn)算？
生：加、減、乘、除。（豎著板書：加、減、乘、除）
師：有哪幾種數(shù)的加、減、乘、除四則運(yùn)算？
生：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)。（橫著板書：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)）
師：（出示作業(yè)紙上第一題）今天陳老師給大家?guī)韼椎李}目。請同學(xué)們看一看。（停頓10秒）你覺得哪幾道題比較容易？
生1：我覺得 ① 35+416 ② 3/4+ 2/5 ③ 51.7-3.48比較容易。
生2：我覺得 ⑦ 4/5×2/3 ⑧ 2/3÷1/18也比較容易。
師：剛才同學(xué)們點到的題有①②③⑦⑧?？磥碛胁糠滞瑢W(xué)覺得像這樣的（手指①②③）加減法比較容易。為什么？
生：因為只要數(shù)位對齊算就行了。
師：你們指的數(shù)位對齊算是指――（手指黑板上的三類數(shù)）
生：整數(shù)、小數(shù)。（在“整數(shù)”和“小數(shù)”下方板書：數(shù)位對齊）
師：為什么要數(shù)位對齊呢？
生：數(shù)位對齊，計數(shù)單位就統(tǒng)一了。
師：也就是說相同的計數(shù)單位才能相加減。
（在“數(shù)位對齊下方”板書：相同的計數(shù)單位）
師：整數(shù)、小數(shù)的加減法只要數(shù)位對齊就能算了，那分?jǐn)?shù)的加減法又是怎么算的？
生：分母相同的分?jǐn)?shù)，分母不變，分子相加減。
師：除了分母相同的情況之外，還有沒有其他情況？
生：分母不同先通分，然后再加或減。
師：為什么要通分呢？
生：為了統(tǒng)一分?jǐn)?shù)單位。
師：看來所有的加減法道理都是一樣的DD，就是把相同計數(shù)單位上的數(shù)相加減就可以了。方法簡單，道理一樣，這是你們喜歡加減法的原因，對吧？
……
【設(shè)計意圖：在上課之前對學(xué)生進(jìn)行了前測，拿著自己出的練習(xí)題叫學(xué)生指出最喜歡算哪幾題？最不喜歡算哪幾題？發(fā)現(xiàn)學(xué)生比較喜歡算整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減法，分?jǐn)?shù)的乘除法；不太喜歡算小數(shù)的乘除法。問學(xué)生為什么喜歡？答案很簡單，容易算。整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的計算方法粗粗分有12條，細(xì)細(xì)分就更多了，如果一條一條講顯然太單調(diào)、太枯燥。更何況有些計算方法學(xué)生不會講或講不完整，但不代表他不會做或不理解?；谝陨系膸c考慮，我決定不一條一條回憶，讓學(xué)生從各種算法之間的共同點著手，找到算法與算法之間的聯(lián)系，把有聯(lián)系的算法進(jìn)行溝通，達(dá)到更好、更快、更簡單的掌握各類算法的目的。同時又在原有舊知上有所提升，從“舊”中出“新”。課一開始直接揭題，接著拋出兩個問題：“你覺得哪幾道題比較容易？”“為什么？”找到整數(shù)、小數(shù)加減法算法的共同點“數(shù)位對齊”，本質(zhì)就是“相同的計數(shù)單位才能相加減”，接著再溝通分?jǐn)?shù)加減法與整數(shù)、小數(shù)加減法的共通點“通分，本質(zhì)也是相同計數(shù)單位才能相加減”。這樣一來就透過整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)加減法算法的不同表象，發(fā)現(xiàn)了相同的本質(zhì)，使學(xué)生對算法的理解更加透徹和深刻。】
片段二：乘除法，從轉(zhuǎn)化中找聯(lián)系
師：這些題目中你們覺得哪幾道題比較難？
生：1.25×1.3，5.6÷0.35
師：看來大家都覺得小數(shù)乘除法比較難。為什么？
生1：小數(shù)乘法在計算時要把小數(shù)化成整數(shù)。
生2：小數(shù)點容易點錯。
生3：計算小數(shù)除法時，要把除數(shù)是小數(shù)的轉(zhuǎn)化成除數(shù)是整數(shù)的，再計算，轉(zhuǎn)化時不小心會搞錯。
師：看來在計算小數(shù)乘除法時都要―――
生：轉(zhuǎn)化。（在“乘”“除”法右邊板書：轉(zhuǎn)化）
師：同學(xué)們對這樣要轉(zhuǎn)化過再來計算的題目，覺得比較煩，覺得比較容易出錯。那么對這樣容易錯的題目你有什么地方要提醒大家的？
生：小數(shù)點不要移錯。
……
師：帶著這些注意點，拿出作業(yè)紙，靜靜的完成作業(yè)紙第一題。
……
師：剛才同學(xué)提到這兩道題（1.25×1.3，5.6÷0.35）比較容易算錯，其實這兩道題容易錯在哪兒？
生：小數(shù)點。
師：誰能結(jié)合1.25×1.3這道題來說說，積的小數(shù)點怎么確定的？
生：先把1.25化成整數(shù)，小數(shù)點向右移動了2位，把1.3化成整數(shù)，小數(shù)點向右移動了1位，得出答案之后再移回去。
師：擴(kuò)大了，后面要怎么樣？
生：縮小回去。
師：所以小數(shù)點的這個點點在哪里，跟誰很有關(guān)系的？
生：跟兩個乘數(shù)里小數(shù)的位數(shù)有關(guān)。
師：乘數(shù)里面一共有幾位小數(shù)，積里面就要點出幾位小數(shù)。
師：那小數(shù)除法又是怎么算的？
生：先把除數(shù)轉(zhuǎn)化成整數(shù)。
師：轉(zhuǎn)化的時候要注意什么？
生：除數(shù)的小數(shù)點向右移動幾位，被除數(shù)的小數(shù)點也要同時向右移動幾位。
師：這里運(yùn)用了什么性質(zhì)？
生：商不變性質(zhì)。
師：乘除法中小數(shù)點還要跟原來的對齊嗎？為什么？
生：因為在計算的時候是轉(zhuǎn)化過的。
……
一、20以內(nèi)進(jìn)位加法
看大數(shù)，分小數(shù)，湊整十，加零頭。
（掌握“湊十法”，提倡“遞推法”。）
二、20以內(nèi)退位減法
20以內(nèi)退位減，口算方法和簡單。
十位退一，個加補(bǔ)，又準(zhǔn)又快寫得數(shù)。
三、加法意義，豎式計算
兩數(shù)合并用加法，加的結(jié)果叫做和。
數(shù)位對其從右起，逢十進(jìn)一別忘記。
四、減法的意義豎式計算
從大去小用減法，減的結(jié)果叫做差。
數(shù)位對齊從右起，不夠減時前位拿。
五、兩位數(shù)乘法
兩位數(shù)乘法并不難，計算過程有三點：
乘數(shù)個位要先算，再用十位乘一遍，
乘積末位是關(guān)鍵，要和十位來對端；
兩次乘積相加完，層層計算記心間
六、兩位數(shù)除法
除數(shù)兩位看兩位，兩位不夠除三位。
除到那位商那位，余數(shù)要比除數(shù)小，
然后再除下一位，試商方法要靈活，
掌握“四舍五入”法，還有“同商比較法”，
了解“折半定商法”，不足除數(shù)商九、八。（包括：同頭、高位少1）
七、混合運(yùn)算
拿到式題認(rèn)真看，先算乘除后加堿。
遇到括號要先算，運(yùn)用規(guī)律要改變。
一些數(shù)據(jù)要記牢，技能技巧掌握好。
八、加、減法速算
加減法速算你莫愁，拿到算式看清楚，
接近整百湊整數(shù)，如下處理無謬誤。
加法不足減補(bǔ)數(shù)，超余零頭加在后。
減法不足加補(bǔ)數(shù)，超余零頭減在后。
九、多位數(shù)讀法
讀書方法很容易，首先四位一分級。
要從位讀起，幾千幾百幾十幾。
級的單位讀億萬，末尾有零都不讀
（級末尾0不讀，整個數(shù)末尾0不讀）
中間夾零讀一個，漢字表達(dá)沒參和。
注讀零的：
1、萬級個級首位有零
2、整個萬級是零
3、上級末尾下級首位都有0
4、每級中間有0
十、小數(shù)加減法
小數(shù)加減計算題，以點對準(zhǔn)好對齊。
算法如同算整數(shù)，算畢把點往下移。
十一、小數(shù)乘法
小數(shù)乘小數(shù)，法則同整數(shù)。
定積小數(shù)位，因數(shù)共同湊。
十二、除數(shù)是小數(shù)的除法
除數(shù)的小數(shù)點一劃，（去掉小數(shù)點）
被除數(shù)的小數(shù)點搬家，向右搬家搬幾位，
除數(shù)的小數(shù)位數(shù)決定它。
十三、質(zhì)數(shù)歌
一位質(zhì)數(shù)2、3、5和7，
兩位1、3、7、9前加1，
4后3，7前有9，7后1，
3、4、6后加7、1，
2、5、7、8后添9、3，
二十五個質(zhì)數(shù)要記全。
十四、分?jǐn)?shù)乘除法
分?jǐn)?shù)乘法易學(xué)懂，分子分母分別乘。算式意義要搞清，上下能約更輕松。分?jǐn)?shù)除法方法妙，原來除號變乘號。除數(shù)子母打顛倒，進(jìn)行計算離不了。
十五、約分
約分、約分，相乘約凈，省時省力。從上往下，從左到右，弄清數(shù)據(jù)，一數(shù)不漏。遇到小數(shù)，去點為整，位數(shù)不夠，用“零”來補(bǔ)。
十六、互質(zhì)數(shù)的判斷
分?jǐn)?shù)比化簡，互質(zhì)數(shù)兩端。觀察記五點：1和所有數(shù)；相鄰兩個數(shù)；兩質(zhì)必互質(zhì)。大數(shù)是質(zhì)數(shù)，兩數(shù)定互質(zhì)。小數(shù)是質(zhì)數(shù)，大數(shù)不倍數(shù)。（是小數(shù)的）
十七、文字題
敘述形式有三種，讀法意義和名稱。解題方法要記清，縮句化簡一步算。標(biāo)點詞語把句斷，分層布列莫遲延。列式方法有兩種，可用算式和方程。
十八、比較關(guān)系應(yīng)用題
（一）相差關(guān)系
1、多多少，少多少，都是大減小。
2、已知條件說比多，比前用加比后減。
3、已知條件說比少，比前用減比后加。
（二）倍數(shù)關(guān)系
1、倍在問題里用除。
2、倍在已知條件里，求是前用乘，求是后用除。
（三）求比幾倍多（少）幾的數(shù)
根據(jù)倍數(shù)分乘數(shù)，根據(jù)多少分加減。
算除先加減，算乘后加減。
十九、找單位“1”
單位“1“藏得巧，根據(jù)分率把你找。
“其中“的前站得好，”是、占、比“后坐得妙；
“問答式“能找到，補(bǔ)充說明要搞好。
百分?jǐn)?shù)常遇到，不帶“率“字有禮貌。
找出一對好朋友，然后確定乘除號。
找單位“1“的說明：
抓住含有不帶單位名稱的分?jǐn)?shù)的“關(guān)鍵句“、“關(guān)鍵詞”，進(jìn)行剖析，這樣就解決了不少學(xué)生對于分?jǐn)?shù)應(yīng)用題苦于不知“從何下手”進(jìn)行分析數(shù)量關(guān)系。因此，使學(xué)生學(xué)會迅速找“關(guān)鍵句”、“關(guān)鍵詞語”進(jìn)行剖析數(shù)量關(guān)系，不僅能有利于掌握解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的一般規(guī)律，而且也能培養(yǎng)學(xué)生的能力，發(fā)展學(xué)生的智力。先“找”后“析”是六年級學(xué)生普遍的學(xué)習(xí)規(guī)律，切記引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真有序地進(jìn)行分析。
分?jǐn)?shù)應(yīng)用題1、找 2、明 3、定 4、對應(yīng)的解題思路。
二十、正反比例應(yīng)用題
正比例，分三段，不變數(shù)量在中間，
前后歸一分開列，然后等號來連接。
反比例分三段，不變數(shù)量在前面，
“如果”分開歸總列，再用等號來連接。
你學(xué)會了嗎？？
順口溜用題思路舉例：
“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”的應(yīng)用題
六年制數(shù)學(xué)課本第四冊中“求比一個數(shù)多幾的數(shù)”與“求比一個數(shù)少幾的數(shù)”兩種應(yīng)用題，是大小兩數(shù)進(jìn)行比較，可以得到一個差。已知差與兩數(shù)中的一個數(shù)，求另一個數(shù)，這就是求比一個數(shù)多幾或少幾的數(shù)。所以“比……多“與“比……少“兩種應(yīng)用題，都是求兩個數(shù)相差的逆推題，題目結(jié)構(gòu)相同。已知條件得”多幾“與”少幾“應(yīng)用題，只是一個問題的兩個側(cè)面而已。學(xué)生解這類題最容易犯的錯誤，是見”多’ 就用加法算，見“少”就用減法算，憑個別字眼判定算法。
教學(xué)思路是：
1、分析數(shù)量關(guān)系，教給學(xué)生思考問題的方法。
2、充分發(fā)揮線段圖的作用，使應(yīng)用題的“事”轉(zhuǎn)化為“理”，又由 “理”轉(zhuǎn)化為“式”直觀地表達(dá)出來，然后找出規(guī)律。
例：P17例5 光明小學(xué)種樹，種了300棵柳樹，種的楊樹比柳樹多70棵，種楊樹多少棵？
一、 提問：有哪幾種樹？ （柳樹，楊樹）
誰與誰比？（楊樹與柳樹比）
誰多？（楊樹多） 誰少？（柳樹少）
二、計算的關(guān)系式：柳樹棵數(shù)+楊樹比柳樹多的棵數(shù)=楊樹的棵數(shù)
三、算式表示：300+70=370（棵）
四、如果把第一個條件改為問題，問題改為條件，應(yīng)該怎樣算。
五、然后得出關(guān)鍵句：已知條件說比多（要求數(shù)在比前）比前用加，（要求數(shù)在比后）比后減。
解應(yīng)用題兒歌
題目讀幾遍，從中找關(guān)鍵；
先看求什么，再去找條件；
合理列算式，仔細(xì)來計算；
一題求多解，單位莫遺忘；
結(jié)果要驗算，最后寫答案。
四舍五入法兒歌
四舍五入方法好，近似數(shù)來有法找；
取到哪位看下位，再同5字作比較；
是5大5前進(jìn)1，小于5的全舍掉；
等號換成約等號，使人一看就明了。
長度單位認(rèn)識歌
1厘米，很淘氣，仔細(xì)找，才見你。
指甲蓋1厘米，伸出手指比一比。
長短和我差不多，大約就是一厘米。
100個我是1米，我是米的小兄弟，
物體長了別用我，要不一定累死你。
除數(shù)是一位數(shù)的除法
除數(shù)一位看一位，一位不夠看兩位，（一看）
除到哪位商那位， （二商三乘減）
除數(shù)是兩位的除法
除數(shù)兩位看兩位，兩位不夠看三位。
除到哪位商那位，記熟口訣定好位。
試商方法要靈活，不夠商“1”“0”占位。
余數(shù)要比除數(shù)小，然后再除下一位。
除數(shù)當(dāng)姐余當(dāng)妹。 （四比五余）
四則混合運(yùn)算的運(yùn)算順序
括號括號搶第一，
乘法、除法排第二，
［摘 要］小數(shù)乘除法是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點，也是難點。小數(shù)乘除法的學(xué)習(xí)要求學(xué)生具備較強(qiáng)的運(yùn)算能力，數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)著重培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。滲透轉(zhuǎn)化思想，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，同時突出運(yùn)算定律的作用，可有效地培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力。
［關(guān)鍵詞］小數(shù)乘除法 運(yùn)算能力 轉(zhuǎn)化思想 算理 運(yùn)算定律
［中圖分類號］ G623.5
［文獻(xiàn)標(biāo)識碼］ A
［文章編號］ 1007-9068（2015）08-085
數(shù)的運(yùn)算在小學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，從整數(shù)到小數(shù)、分?jǐn)?shù)的加減乘除運(yùn)算，以及運(yùn)算定律的運(yùn)用等都占據(jù)了很大的比重，因而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力顯得極為重要。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中將運(yùn)算能力作為十大核心概念之一，也充分體現(xiàn)出運(yùn)算能力在學(xué)生成長與發(fā)展中的重要價值。
一、滲透轉(zhuǎn)化思想，促進(jìn)學(xué)生熟悉運(yùn)算方法
轉(zhuǎn)化思想在小數(shù)乘除法中起著至關(guān)重要的作用，轉(zhuǎn)化思想對提高學(xué)生小數(shù)乘除法的運(yùn)算能力，讓學(xué)生更快更好地熟練掌握小數(shù)乘除法運(yùn)算，提高學(xué)習(xí)質(zhì)量，實現(xiàn)知識的生成、發(fā)展與提升都起到了不可忽視的作用。
例如，在教學(xué)“小數(shù)乘法”時，我進(jìn)行了如下設(shè)計。
師：大家請看，我這里有一個邊長為0．1分米的正方形，怎么求出它的面積呢？請同學(xué)們先列式，再嘗試求出結(jié)果。
生1：利用正方形的面積公式可以列式為0．1×0．1，0．1分米＝1厘米，可以求出小正方形的面積是1平方厘米，利用面積單位轉(zhuǎn)化“1平方分米＝100平方厘米”就可得出0．1×0．1＝0．01（平方分米）。
師：說得太好了，既正確應(yīng)用了正方形的面積公式，又復(fù)習(xí)了面積單位的轉(zhuǎn)化，讓我們把掌聲送給他。那么還有其他的方法嗎？
生2：我在列式為0．1×0．1后，把兩個因數(shù)都擴(kuò)大了10倍，變成了1×1，這樣積就擴(kuò)大了100倍，回到原來這個式子上就需要將積縮小100倍，得到0．1×0．1＝0．01。
師：真棒，將小數(shù)先轉(zhuǎn)化為整數(shù)，然后再將擴(kuò)大的倍數(shù)縮小回來，真聰明，這也就是我們乘法列豎式計算的基本思路。
二、幫助學(xué)生理解算理、掌握算法
在教學(xué)時，很多教師都只是注重方法的講解，讓學(xué)生通過大量的練習(xí)來掌握技能，而忽視了學(xué)生對算理的理解，殊不知讓學(xué)生理解算理是運(yùn)算教學(xué)的起點，也是關(guān)鍵，不重視算理的教學(xué)就好像是無源之水、無本之木。因此，我們應(yīng)幫助學(xué)生理解算理，讓學(xué)生在理解算理的基礎(chǔ)上更好地形成方法、掌握技能，最終提高運(yùn)算能力。
在學(xué)習(xí)“小數(shù)除法”時，可先讓學(xué)生感知“被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大相同的倍數(shù)，商不變”的性質(zhì)。這樣當(dāng)除數(shù)為小數(shù)時，我們就可以通過向右移動小數(shù)點來轉(zhuǎn)化為整數(shù)，同時被除數(shù)也要向右移動相同的位數(shù)，這也就是小數(shù)除法的基本算理。在這一過程中學(xué)生會發(fā)現(xiàn)有這么三種情況：被除數(shù)也成為整數(shù)；被除數(shù)還是小數(shù)；被除數(shù)的末尾需要補(bǔ)0。因此在教學(xué)時我們要以此為重點，讓學(xué)生在理解算理的前提下反復(fù)練習(xí)小數(shù)點的移動規(guī)律，強(qiáng)調(diào)要把劃去的小數(shù)點和移動后的小數(shù)點分清，劃去可以用鉛筆，避免出現(xiàn)混淆，并按照先劃、再移、后點的順序，使學(xué)生能夠?qū)⑵涫煊浻谛?，從而一步一個腳印，扎扎實實地掌握小數(shù)除法的運(yùn)算。
三、突出運(yùn)算定律的作用，讓學(xué)生養(yǎng)成主動運(yùn)用運(yùn)算律的良好習(xí)慣
運(yùn)算定律的作用體現(xiàn)在解題中就是使運(yùn)算更加簡潔、簡便，從而使復(fù)雜的計算變得簡單，甚至口算都能得出正確的結(jié)果。如在學(xué)習(xí)“小數(shù)乘法”時，我們可以通過幾組練習(xí)讓學(xué)生感知到整數(shù)乘法運(yùn)算律對于小數(shù)乘法仍然適用，這樣就可以將運(yùn)算律推廣到小數(shù)范圍內(nèi)，讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)結(jié)論的嚴(yán)密性和科學(xué)性。同時要引導(dǎo)學(xué)生在計算時先看一看、想一想能不能用運(yùn)算律，在這一過程中也就發(fā)展了學(xué)生的數(shù)感，使學(xué)生養(yǎng)成主動運(yùn)用運(yùn)算律的良好習(xí)慣，從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
師：我們剛才已經(jīng)通過嘗試得到整數(shù)乘法運(yùn)算定律仍然適用于小數(shù)乘法運(yùn)算，那么大家觀察、思考、完成下面的一組題目，看一下能不能用簡便方法運(yùn)算，如果能，用了哪個運(yùn)算律？
（1）2．5×3．2×0．125 （2）0．18×99 （3）89．7×99＋89．7
生1：第（1）題中我一看有2．5和0．125，就想到了4和8，于是我將3．2寫成0．4×8，就可得出2．5×3．2×0．125＝（2．5×0．4）×（8×0．125）＝1×1＝1，這里用到了結(jié)合律。
生2：一看第（2）題的結(jié)構(gòu)就知道把99寫成（100－1），這樣就可以得到0．18×99＝0．18×100－0．18×1＝18－0．18＝17．82，這里用到了分配律。
生3：一看第（3）題的結(jié)構(gòu)也是用分配律的，89．7×99＋89．7＝89．7×（99＋1）＝89．7×100＝8970。
師：大家說得都很好，反應(yīng)也很快，可以看出運(yùn)算律的作用真不小，如果不用或不會用的話，你不僅做不快，還很容易出錯。
