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關(guān)鍵詞：極限思想；發(fā)展；符號表達
極限是高等數(shù)學(xué)中起著基礎(chǔ)作用的概念，在某程度上可以說高等數(shù)學(xué)的整個體系都建立在這一概念的基礎(chǔ)之上. 而極限思想則是指用極限概念分析問題和解決問題的一種數(shù)學(xué)思想。極限思想作為一種數(shù)學(xué)思想，從其遠(yuǎn)古的思想萌芽，發(fā)展到現(xiàn)在完整的極限理論，其發(fā)展道路上布滿了歷代數(shù)學(xué)家們的嚴(yán)謹(jǐn)務(wù)實、孜孜以求的奮斗足跡。也是數(shù)千年來人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中的一個側(cè)面反應(yīng)，亦是人類追求真理、追求理想、創(chuàng)新求實的生動寫照。極限思想的產(chǎn)生與完善是社會實踐的需要，它的產(chǎn)生為數(shù)學(xué)的發(fā)展增加了新的動力，成為了近代數(shù)學(xué)思想和方法的基礎(chǔ)和出發(fā)點。
極限思想是微積分學(xué)的基本思想，數(shù)學(xué)中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都需要借助于極限來加以定義。 微積分則是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，要學(xué)好微積分，就應(yīng)該了解極限思想，學(xué)會用極限思想來理解這些概念，進而把微積分學(xué)知識應(yīng)用于日常生活和生產(chǎn)實踐中，體會數(shù)學(xué)源于生產(chǎn)實踐，服務(wù)于生產(chǎn)實踐的事實。但是，極限思想較為晦澀，一向被視為是一難于理解的數(shù)學(xué)概念，若在教學(xué)中，加入一些涉及極限思想的故事及發(fā)展歷程，則會有利于學(xué)生了解極限思想與微積分學(xué)之間的關(guān)系，從而加深對其概念的理解。
極限思想的發(fā)展，總數(shù)起來可認(rèn)為有三個階段：
階段一，小荷才露尖尖角，樸素極限思想的出現(xiàn)。與所有的科學(xué)思想方法相同，極限思想同樣是社會生產(chǎn)實踐的產(chǎn)物。追溯到古代，戰(zhàn)國時莊子與其弟子所著的《莊子》一書中的《莊子·天下篇》中，提到：“一尺之捶，日取其半，萬世不竭?！?即：若取一根一尺長的棍子，第一天截去一半，第二天截去剩下的一半，此后每天都截取剩余的一半，如此永遠(yuǎn)也不能取盡。此說法認(rèn)為物質(zhì)是可以無限分割的，其中蘊含了樸實的極限思想，具有很高的學(xué)術(shù)價值，但卻偏重于哲學(xué)的角度，與數(shù)學(xué)的聯(lián)系還沒有建立。而三世紀(jì)的劉徽的 “割圓術(shù)”：“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”，公元五世紀(jì)祖沖之計算圓周率的方法、公元前五世紀(jì)希臘學(xué)者德漠克利特為解決不可公度問題創(chuàng)立的“原子論”、公元前三世紀(jì)古希臘詭辯學(xué)家安提豐在求圓面積過程中提出的“窮竭法”等等問題中，在蘊含了最原始的樸素的極限思想的同時，開始從數(shù)學(xué)角度思考問題。
16世紀(jì)時，荷蘭的數(shù)學(xué)家斯泰文在三角形重心的研究中，改進了由歐道克斯提出的“窮竭法”，借助幾何圖形的直觀性，利用極限思想考慮問題，并在無意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個實用概念的方向”，但卻沒有脫離當(dāng)時的社會實際。
階段二，極限思想在數(shù)學(xué)上的正式提出，改善和發(fā)展階段。極限思想的進一步發(fā)展與微積分的建立緊密相聯(lián)。16世紀(jì)的歐洲，資本主義正處于萌芽時期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展。隨著生產(chǎn)力的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中出現(xiàn)了大量的問題，只用初等數(shù)學(xué)的方法根本無法解決，例如描述和研究變速直線的過程、曲邊梯形的面積等等。這些問題的解決需要數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，這些是促進極限發(fā)展、建立微積分的社會背景。
當(dāng)牛頓和萊布尼茨以無窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分時，遇到了邏輯困難。牛頓在描述作變速運動的物體在某一時刻t時的瞬時速率時，用路程的改變量S與時間的改變量Δt的比值ΔS/Δt表示運動物體的平均速度，當(dāng)Δt無限趨近于零，該比值無限趨近于一與Δt無關(guān)的常數(shù)，該常數(shù)即物體在時刻t時的瞬時速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)的基本理論。在敘述瞬時速率時，他已意識到了極限概念的重要性，也想以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，初步提出了極限的直觀性定義：“如果當(dāng)n 無限增大時，如果an無限接近于常數(shù)A，那么就說an以A為極限?！钡ｎD給出的極限觀念與荷蘭斯泰文同樣也是建立在幾何直觀上的，這種直觀的定性解釋并沒有給出極限的嚴(yán)格表述，也沒有解決當(dāng)時的數(shù)學(xué)危機，因此在此基礎(chǔ)上，同時代及后起許多數(shù)學(xué)家對極限的概念進行了完善。
也是因為當(dāng)時缺乏嚴(yán)格的極限定義，微積分理論才會在那個時代受到人們的懷疑與攻擊，例如，在瞬時速度概念的描述中，究竟Δt是否等于零？而如果說是零，零是不能做分母的，怎么能用它去作除法呢？但是若Δt不是零，卻又不能把包含著Δt的項去掉。這就是數(shù)學(xué)史上所說的無窮小悖論。在攻擊微積分學(xué)的大家中，英國哲學(xué)家、大主教貝克萊的攻擊最為激烈，他認(rèn)為微積分的推導(dǎo)是“分明的詭辯”。
貝克萊激烈攻擊微積分的原因有兩個，首先他要為宗教服務(wù)，其次也是因為當(dāng)時的微積分缺乏牢固的理論基礎(chǔ)，即使牛頓自己也無法清楚地解釋極限概念中的混亂。事實證明，嚴(yán)格極限的概念，建立嚴(yán)格的微積分理論基礎(chǔ)，既是數(shù)學(xué)本身發(fā)展的需求，也有認(rèn)識論上的重大意義。
階段三，極限概念的定量化和數(shù)學(xué)符號表達階段。這階段主要指由柯西精確定義，維爾斯特拉斯用符號精確表達極限的階段。
19世紀(jì)，法國數(shù)學(xué)家柯西在他的著作《分析教程》中指出：“當(dāng)一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其他值的極限值，特別地，當(dāng)一個變量的數(shù)值（絕對值）無限地減小使之收斂到極限0，就說這個變量成為無窮小”。盡管這個定義是建筑在前人工作的基礎(chǔ)上，但還是相對完整地闡述了極限概念及其理論。但是這個定義仍然欠粗糙，說用語句中的“無限接近”、“要多小就有多小”等都只能給人一種模糊的直覺，并沒有徹底擺脫殘存在頭腦中的幾何直觀印象。
19世紀(jì)后半葉，德國的維爾特拉斯則提出了關(guān)于極限的純算數(shù)定義，并給出了沿用至今所用的極限的符號。
極限的定義經(jīng)過幾代人的不斷完善、嚴(yán)格，最終解決了微積分理論發(fā)展期所面臨的強大邏輯質(zhì)疑，給微積分學(xué)提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。也正是如此，數(shù)學(xué)由常量數(shù)學(xué)正式進入變量數(shù)學(xué)的時代，極限的數(shù)學(xué)定義，沿用至今，成了微積分發(fā)展的重要里程碑。
極限思想在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和物理學(xué)、天文學(xué)、化學(xué)甚至經(jīng)濟學(xué)、建筑學(xué)等學(xué)科中都有著廣泛的應(yīng)用，這也是由它本身固有的思維功能所決定的。極限思想揭示了變量與常量、無限與有限的對立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。極限又是微積分的基本概念，是微積分學(xué)的直接基礎(chǔ)，也是微積分學(xué)區(qū)別于常量數(shù)學(xué)的重要工具，二者是相輔相成、密不可分的。極限思想擴展了數(shù)學(xué)能夠分析研究的范圍，促進了微積分的發(fā)展和完善，而微積分學(xué)在各個學(xué)科中的應(yīng)用也是源于極限思想這個堅實理論基礎(chǔ)。
參考文獻
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早在20世紀(jì)80年代初，國內(nèi)就有法律人倡導(dǎo)關(guān)注法律經(jīng)濟學(xué),?但幾乎沒有引起多大反響。主要原因在于其所涉議題并非肇始于上世紀(jì)五六十年代的國外法律經(jīng)濟學(xué)思潮而是有關(guān)經(jīng)濟基礎(chǔ)和上層建筑關(guān)系的政治經(jīng)濟學(xué)原理對于法學(xué)研究的意義和作用，其在國內(nèi)首創(chuàng)“法經(jīng)濟學(xué)詞，也有點名不副實。②80年代末90年代初，三聯(lián)書店上海分店和上海人民出版社聯(lián)合推出的“當(dāng)代經(jīng)濟學(xué)文庫”首次譯介了一批法律經(jīng)濟學(xué)經(jīng)典,③并很快被經(jīng)濟學(xué)界所吸收消化。不過，經(jīng)濟學(xué)界擅長用數(shù)理工具分析法律制度、法律問題,不乏嚴(yán)謹(jǐn)漂亮的邏輯推演論證之作，但大多缺乏對于我國法制運行狀況特別是司法裁判實踐過程的真切了解,故仍難免不陷入宏大敘事式的泛泛而論或者類似于科斯所稱“黑板經(jīng)濟學(xué)”的“黑板法學(xué)”窠臼，離開約束條件或者約束條件一旦發(fā)生變化，就不能很好地解釋和解決中國現(xiàn)實生活中的真實法律現(xiàn)象，④其功利性訴求也備受垢病，⑤在法律人眼里似乎華而不實、中看而不中用。同時,法律人因受制于傳統(tǒng)的道德評判理路以及并不精通數(shù)理分析短板的雙重影響，不僅對經(jīng)濟學(xué)侵入法學(xué)領(lǐng)域所帶來的革命性變革難以應(yīng)對，進退失據(jù),而且對法律經(jīng)濟學(xué)的一些基本原理以及具體規(guī)則也處于似懂非懂、云遮霧障的狀態(tài)之中，能夠深切領(lǐng)會法律經(jīng)濟學(xué)開山鼻祖科斯理論真諦的，更屬鳳毛麟角。筆者曾在先前發(fā)表的論文中列舉一例?:前些年北京大學(xué)蘇力教授從案例研究入手的法律經(jīng)濟學(xué)論文《〈秋菊打官司〉案、邱氏鼠藥案和言論自由》⑦甫一問世，就在國內(nèi)法理學(xué)界引起了極大反響。但無論是支持者還是反對者，均大多對科斯法律經(jīng)濟學(xué)的原理原則不甚了了，以訛傳訛、不得要領(lǐng)的論著隨處可見，有的甚至完全背離而渾然不覺。拙文雖曾對此作過仔細(xì)分析,但也許偏重文本解讀，對于并不熟悉相關(guān)文獻的讀者可能難窺真貌,故迄今仍是應(yīng)者寥寥。筆者另文涉及公司沖突權(quán)利有效配置的命題,則由于部門法理學(xué)的局限性，未及充分討論法律經(jīng)濟學(xué)原理原則在法律學(xué)界的一般化、普適化問題。?而這正是本文的主旨所在。
筆者認(rèn)為,法律人盡管也都承認(rèn)科斯對于法律經(jīng)濟學(xué)的基礎(chǔ)性貢獻，但對其兩篇諾貝爾經(jīng)濟學(xué)獎獲獎?wù)撐乃鶆?chuàng)新制度經(jīng)濟學(xué)包含的產(chǎn)權(quán)理論、交易成本理論、企業(yè)理論和制度變遷理論與法律經(jīng)濟學(xué)之間的關(guān)系恐怕不是十分清楚，對所謂科斯定理的內(nèi)核也未必真正理解。當(dāng)然,假如國內(nèi)大學(xué)教育能夠養(yǎng)成法科學(xué)生精通高等數(shù)學(xué)和經(jīng)濟學(xué)的能力，所有法律人將無須尋找從經(jīng)濟學(xué)通向法律學(xué)蹊徑的法門，而是可以挾數(shù)理分析優(yōu)勢坐上最大化訴求的直通車，本文的論題也將失去意義，可惜這并不現(xiàn)實。而且，即使教育部立即改革法學(xué)專業(yè)課程設(shè)置,增加高等數(shù)學(xué)課程數(shù)量，增設(shè)一批經(jīng)濟學(xué)主干課程，已經(jīng)走上社會的法律人也無緣直接受益，以徹底改善自己的知識結(jié)構(gòu)。法律人自我救贖的可行辦法似乎需要揚長避短，盡量發(fā)掘科斯法律經(jīng)濟學(xué)富礦，并將其理論內(nèi)核推向一般化、普適化。除了著力理解科斯定理的真諦外，有關(guān)將資源配置轉(zhuǎn)換為權(quán)利配置的原創(chuàng)思想以及總體的、邊際的和替代的綜合研究方法，張五常對于合約選擇局限條件的精妙概括，或許能夠引領(lǐng)法律人達到曲徑通幽的目的,借此還能在法律經(jīng)濟學(xué)與利益衡量論之間架起一座橋梁，并發(fā)揮法律經(jīng)濟學(xué)在推進我國法學(xué)理論、法制建設(shè)科學(xué)化進程中的應(yīng)有作用。
本文在以引言導(dǎo)出主題后，首先對法學(xué)方法論與經(jīng)濟學(xué)方法論的優(yōu)劣稍作比較，其次探討科斯經(jīng)典論文中的法律經(jīng)濟學(xué)內(nèi)核，再次嘗試用不含數(shù)理分析的科斯原創(chuàng)性法律經(jīng)濟學(xué)思想解析本人較為熟悉的典型公司糾紛，最后用結(jié)語將前述分析方法擴及當(dāng)今社會熱點法律問題、甚至一般人類行為并結(jié)束全文。
二、法學(xué)方法論與經(jīng)濟學(xué)方法論的簡單比較
法律經(jīng)濟學(xué)的一大特色是將經(jīng)濟學(xué)與法學(xué)勾連起來，開拓了法律解釋的一番新天地,甚至引起法學(xué)研究的一場革命,其根源在于經(jīng)濟學(xué)方法論相較于法學(xué)方法論的獨到優(yōu)勢。盡管上自馬歇爾?下至波斯納對此均有論述,?但仍有必要稍作比較以加深印象。
從亞當(dāng)斯密為代表的古典經(jīng)濟學(xué)，經(jīng)馬歇爾為代表的新古典經(jīng)濟學(xué)，再到凱恩斯、后凱恩斯時代以來的現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué),經(jīng)濟學(xué)已經(jīng)呈現(xiàn)出流派繁多、百花齊放、精彩紛呈的局面，尤其是新制度經(jīng)濟學(xué)異軍突起，為法律經(jīng)濟學(xué)奠定了堅實的理論基礎(chǔ)。相較于傳統(tǒng)法學(xué)在方法論上擁有統(tǒng)一語境及一以貫之的分析工具的劣勢，科學(xué)化已經(jīng)得到舉世公認(rèn)的經(jīng)濟學(xué),正是法律經(jīng)濟學(xué)彰顯其帝國主義擴張本性的根本原因。對此，很多法律人也許并不同意，但確實是一個不爭的現(xiàn)實，法律人已經(jīng)無法熟視無睹，唯有積極應(yīng)對才是上策。撇開其他論證方法，我們只要隨手找?guī)妆緝蓚€學(xué)科的經(jīng)典讀物作比較,就可見一斑。
龐德為享譽國際的著名法學(xué)家。他在《法理學(xué)》(第一卷)中將法學(xué)或者法理學(xué)歸納為：“有關(guān)通過法律或者借助法律達到社會控制目的的科學(xué),詳言之，這是一門有關(guān)文明社會中以司法及行政機關(guān)對人類關(guān)系的規(guī)范裁決為手段對權(quán)益加以保護的科學(xué)。”④而英國的丹尼斯勞埃德等則認(rèn)為,法理學(xué)的“工作”之一是提供法的認(rèn)識論種關(guān)于法律領(lǐng)域的真正知識的可能性的理論。①前者僅是對英美判例法的描述，故并不周延，后者不能揭示“法的認(rèn)識論”的特殊性。據(jù)此,我們無法窺見法學(xué)或者法理學(xué)的真實面貌，即它是干什么的，又能夠干什么?國內(nèi)具有代表性的法理學(xué)教材的表述稍微清楚一點。如張文顯認(rèn)為：‘法學(xué)是以法律現(xiàn)象為研究對象的各種科學(xué)活動及其認(rèn)識成果的總稱?！雹诟鸷榱x的解釋則是：“所謂法學(xué)，就是研究法律現(xiàn)象的知識體系,是以特定的概念、原理來探求法律問題之答案的學(xué)問?！?顯然，這樣的解釋仍然無法將法學(xué)與其他社會科學(xué)區(qū)分開來,不僅初學(xué)者不知所云，即使專業(yè)法律人士，恐怕也是不得要領(lǐng)。國內(nèi)高校600多個法律院系大一開設(shè)的法理學(xué)課程，能夠聽懂的學(xué)生寥寥無幾，有的院系不得不將其移至高年級開設(shè)。
以民法解釋學(xué)為代表的法學(xué)方法論(包括法律邏輯學(xué)中的三段論)對于訓(xùn)練法律人的思維意義重大，只是有時顯得過于機械,往往無法適應(yīng)變動不居的社會現(xiàn)實，解釋不了新的法律現(xiàn)象;發(fā)源于德國的利益法學(xué)派無疑對傳統(tǒng)的法律解釋學(xué)具有很好的補充作用，但難免有點抱殘守缺、捉襟見肘;近年譯介到國內(nèi)的拉倫茨的〈法學(xué)方法論》和阿列克西的〈《去律論證理論》仍未從根本上改變上述局面;?日本的利益衡量論影響日廣，也是時勢所然。⑤后者在具體應(yīng)用時，多少會接觸到經(jīng)濟分析，但重點顯然不在用經(jīng)濟學(xué)方法取代法學(xué)方法,且似乎與科斯理論毫無淵源，故難以入流即無法達到能夠用規(guī)范的經(jīng)濟分析進行科學(xué)化表述的程度。舉例而言，涉及我國社會制度改革話題，經(jīng)濟學(xué)界長期處在獨步天下的顯赫地位,法律人幾乎沒有多少話語權(quán)。法學(xué)學(xué)科優(yōu)勢不及經(jīng)濟學(xué),進而出現(xiàn)經(jīng)濟學(xué)界可能解釋所有法律現(xiàn)象、法律制度，而法律人無力侵入眾多經(jīng)濟(學(xué))領(lǐng)域的局面，或許是這一現(xiàn)象背后的一個深層原因。
經(jīng)濟學(xué)的情況則完全不同。只要是正規(guī)的經(jīng)濟學(xué)教科書,對于經(jīng)濟學(xué)的定義均是簡單明了、通俗易懂的。在此僅舉近年譯介到國內(nèi)的幾部:如羅伯特S平狄克、丹尼爾L魯賓菲爾德的〈微觀經(jīng)濟學(xué)(第7版)》認(rèn)為:微觀經(jīng)濟學(xué)“研究的就是稀缺資源的配置”。其進一步解釋道:在現(xiàn)代經(jīng)濟中，消費者、個人和企業(yè)在配置稀缺資源時具有很大的靈活性和多種選擇。微觀經(jīng)濟學(xué)描述消費者、個人和企業(yè)所面臨的權(quán)衡取舍(trade-ff),并且解釋這些取舍具體是怎樣做出的。⑥曼昆的〈宏觀經(jīng)濟學(xué)(第5版)》將微觀經(jīng)濟學(xué)定義為“關(guān)于家庭和企業(yè)如何作出決策以及這些決策者在市場上如何相互作用的研究。”其中心原理是最優(yōu)化一他們在給定的目標(biāo)和所面臨的約束條件的情況下盡其所能做得最好。⑦他在《經(jīng)齊學(xué)原理一微觀經(jīng)濟學(xué)分冊(第5版)》中，則更是將經(jīng)濟學(xué)簡化為“研究社會如何管理自己的稀缺資源。”⑧另一部流行的經(jīng)濟學(xué)教科書即保羅薩繆爾森、威廉諾德豪斯的〈微觀經(jīng)濟學(xué)(第19版)》對此稍作拓展:經(jīng)濟學(xué)研究的是—個社會如何利用稀缺的資源生產(chǎn)有價值的商品，并將它們在不同的人中間進行分配。⑨諾獎得主貝克爾的解釋更為具體詳盡。根據(jù)他的觀點，經(jīng)濟學(xué)定義廣為流傳:稀缺資源如何在各種可供選擇的目標(biāo)之間進行分配。今天，經(jīng)濟研究的領(lǐng)域業(yè)已囊括人類的全部行為及與之有關(guān)的全部決定。經(jīng)濟學(xué)的特點在于，它研究問題的本質(zhì)，而不是該問題是否具有商業(yè)性或物質(zhì)性。因此，凡是以多種用途為特征的資源稀缺情況下產(chǎn)生的資源分配與選擇問題,均可納入經(jīng)濟學(xué)的范圍,均可以用經(jīng)濟分析加以研究。經(jīng)濟分析是一種統(tǒng)一的方法,適用于全部人類行為。我確信,經(jīng)濟學(xué)之所以有別于其他社會科學(xué)而成為一門學(xué)科關(guān)鍵所在不是它的研究對象,而是它的研究方法。最大化行為、市場均衡和偏好穩(wěn)定的綜合假定及其不折不扣的運用便構(gòu)成了經(jīng)濟分析的核心。①1988年出版的科斯《企業(yè)、市場與法律》，則在借用羅賓斯有關(guān)經(jīng)濟學(xué)定義(經(jīng)濟學(xué)，就是對如何安排人類目標(biāo)與多種用途的稀缺資源之間關(guān)系的人類行為的研究。)后，認(rèn)為“這個定義使經(jīng)濟學(xué)成為一門研究人類選擇的學(xué)科”。更進一步而言，由貝克爾歸納的經(jīng)濟學(xué)本質(zhì)一最大化其效用的理性選擇研究方法‘運用于分析動物行為就毫無問題”。
關(guān)鍵詞：大學(xué)物理；課程有效性；課程實施方法
物理學(xué)的發(fā)展使得自然科學(xué)各個學(xué)科和領(lǐng)域的以突飛猛進的熟讀得到發(fā)展物理學(xué)在20世紀(jì)以來更是站在了科學(xué)的前沿，推動了新技術(shù)、新產(chǎn)業(yè)的進步，深刻地影響著社會進步和經(jīng)濟發(fā)展?？梢哉f，物理學(xué)的發(fā)展是提高全民科學(xué)素質(zhì)教育的搖籃，首先，物理是理工科學(xué)生學(xué)好后續(xù)專業(yè)課程的基礎(chǔ)，例如信息工程系中的計算機科學(xué)與技術(shù)專業(yè)，要求學(xué)生有一定的電學(xué)知識，建筑工程系的土木工程要求學(xué)生有一定的力學(xué)知識基礎(chǔ)。其次，物理的學(xué)習(xí)過程會使學(xué)生掌握和學(xué)習(xí)科學(xué)的思維方法和研究方法，能夠進一步培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維能力、開闊思路、激發(fā)他們探索和創(chuàng)新的精神，真正提高人才素質(zhì)[1]。
近年來，大學(xué)物理的基礎(chǔ)地位正面臨危機，教學(xué)時數(shù)逐漸減少，受重視的程度也在不斷降低。但物理學(xué)領(lǐng)域在高溫超導(dǎo)、納米技術(shù)等應(yīng)用領(lǐng)域取得了很大成就，人才向應(yīng)用領(lǐng)域轉(zhuǎn)移。因此，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和社會的進步，大學(xué)物理教學(xué)的主要任務(wù)是注重思維方法和科學(xué)素質(zhì)的培養(yǎng)，重視實踐環(huán)節(jié)，培養(yǎng)具有創(chuàng)新能力的應(yīng)用型人才[2]。
課程是高校實施教學(xué)過程的主體工程，高校人才培養(yǎng)的質(zhì)量很大程度上取決于課程的有效性。課程是學(xué)生成長的養(yǎng)料，是實現(xiàn)人才培養(yǎng)目標(biāo)的基礎(chǔ)性工程。課程的有效性程度決定了人才培養(yǎng)的質(zhì)量和人才培養(yǎng)目標(biāo)實現(xiàn)的程度。有效教學(xué)是一種現(xiàn)代教學(xué)理念，以學(xué)生發(fā)展為主旨，強調(diào)以科學(xué)理論為指導(dǎo)，關(guān)注教學(xué)的有效性，提倡教學(xué)方式的多樣化；同時，有效教學(xué)也是一種教學(xué)實踐活動，必須以遵循教育教學(xué)規(guī)律為前提，以合乎教學(xué)目標(biāo)為實質(zhì)，以實現(xiàn)教與學(xué)的統(tǒng)一為關(guān)鍵。
大學(xué)物理課程的有效性包括教學(xué)的有效性和教育的有效性，而教育的有效性是以教學(xué)的有效性為前提。教學(xué)的有效性是指通過一段時間的學(xué)習(xí)后，學(xué)生進步和成績是否達到了預(yù)期的目標(biāo)，是否促進了學(xué)生的知識、技能、態(tài)度的全面發(fā)展。要求教師有能力判斷學(xué)生是否達到這些要求，而現(xiàn)在學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高、課時極度被壓縮，教學(xué)大綱基本沒有發(fā)生變化的情況下，需求一種有效的教學(xué)方式來適應(yīng)現(xiàn)在的物理教學(xué)。對于應(yīng)用型學(xué)院來說，高效低耗的課堂、有效的教學(xué)是十分必須的。高等院校也迫切需要改變這種教學(xué)低效的現(xiàn)狀，而爭取實施有效教學(xué)。提高課堂有效性的方法有多方面的，僅在一下幾方面加以討論：
一、在教學(xué)設(shè)計或?qū)嵤┑倪^程中注重能力或者素質(zhì)的訓(xùn)練與培養(yǎng)
大學(xué)物理以知識為載體，探索物理方法、啟迪物理思維、滲透物理思想、培養(yǎng)科學(xué)精神。物理學(xué)培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)世界觀：時空觀、運動觀、完整的物質(zhì)世界圖像；科學(xué)的認(rèn)識論和方法論：清晰地物理思想、系統(tǒng)的物理思維方法；創(chuàng)新素質(zhì)能力：獨立思考、善于提問科學(xué)問題能力。創(chuàng)新思維能力：以基本物理思想為前提，利用猜想、類比、定性和定量的方法分析物理結(jié)果，分析判斷物理結(jié)果正確性的能力；將所學(xué)的物理知識應(yīng)用于其他學(xué)科及實際問題的能力，獨立地分析和解決物理問題的能力：概括物理現(xiàn)象、建立物理模型、抽象物理原理的能力[3]。
二、教師苦練教學(xué)基本功，深度挖掘教材
要突出教學(xué)重難點就要深度挖掘教材，深刻理解教材內(nèi)容。不僅要發(fā)掘教材中的重點和難點，在授課時做到突出重點、突破難點。還要發(fā)現(xiàn)不同教材的證明、推導(dǎo)和計算方法的區(qū)別。物理教師對這些問題有了深刻的認(rèn)識，在課堂上能夠引導(dǎo)學(xué)生，訓(xùn)練積極、發(fā)散的思維。每一個教師，上課前準(zhǔn)備愈充分，教的會愈好。充分的準(zhǔn)備還可以應(yīng)付學(xué)生即時的需要。
三、在保證完成基本教學(xué)要求同時，突出重點內(nèi)容
參照教育部高等學(xué)校非物理類專業(yè)物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會提出的《非物理類理工學(xué)科大學(xué)物理課程基本教學(xué)要求》[4]。每節(jié)物理課在標(biāo)題上就要突出本節(jié)課的重點、難點。同時教師要進一步明確對于學(xué)生的知識、技能、態(tài)度目標(biāo)的要求，學(xué)生素質(zhì)提升的要求。針對重難點內(nèi)容有選擇性的進行分解，使得大部分同學(xué)能夠聽懂本次課，或者至少有一部分內(nèi)容是懂了的。也可以利用網(wǎng)絡(luò)資源查找課上要用到的 生動、有趣、與實際生活相關(guān)的圖片引出本節(jié)課內(nèi)容，所選圖片要包含本節(jié)課所講物理原理，能夠引起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。
四、大學(xué)物理教學(xué)中融合高等數(shù)學(xué)知識
大學(xué)物理與高等數(shù)學(xué)關(guān)系密切，從常量到變量、從標(biāo)量到矢量，不少學(xué)生在第一次翻閱大學(xué)物理教材時，看到書中大量的高等數(shù)學(xué)符號，不由得對大學(xué)物理課程產(chǎn)生畏難心態(tài)[5]。大學(xué)物理最常見的思想是將載流導(dǎo)線、某一截面或位移分成無數(shù)多個無窮小的微元，從而等效達到已知的狀態(tài)”，其處理思想就是高等數(shù)學(xué)中的微分思想。凡是應(yīng)用微元思想后，其疊加過程皆離不開積分，如果說微分更大的作用在于提供一種思路，提供一種可行的解決問題的途徑，那么積分則是將思路轉(zhuǎn)化為結(jié)論，將過程推演出結(jié)果的手段。
五、增強學(xué)生的課堂注意力
提高課程導(dǎo)入的藝術(shù)性。用物理學(xué)的最新進展與應(yīng)用吸引學(xué)生的注意力。運用幽默的語言提高學(xué)生注意力。有效的課堂，師生的交流是必不可少的。課堂上的交流反映在教師的教和學(xué)生的學(xué)；課外交流可以是生活中的實際交流，也可以是不受時空限制的網(wǎng)絡(luò)交流。營造民主的教學(xué)作風(fēng)，和諧的課堂人際關(guān)系是加強師生課外交流的有效途徑[6]。
大學(xué)物理教學(xué)要在教育理念上富有時代特色，課程設(shè)置上要新穎、實用，緊密聯(lián)系就業(yè)市場的需求與專業(yè)特點[7]。物理學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)，是科學(xué)技術(shù)的基礎(chǔ)和帶頭學(xué)科，作為理工科專業(yè)的大學(xué)生，大學(xué)物理是其重要的公共基礎(chǔ)課程，它所闡述的基本概念、基本思想、基本規(guī)律和基本方法是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)專業(yè)課的理論、邏輯基礎(chǔ)；同時，它也是全面提高學(xué)生綜合素質(zhì)和創(chuàng)新能力的重要課程。為了有效提高大學(xué)物理課程的教學(xué)質(zhì)量，在大學(xué)物理教學(xué)過程中，我們要主動轉(zhuǎn)變觀念，樹立正確的教學(xué)觀；認(rèn)識物理課程的階段性教學(xué)規(guī)律和教學(xué)特點，促進學(xué)生物理認(rèn)識能力的發(fā)展，不斷優(yōu)化教學(xué)，提高大學(xué)物理課程的教學(xué)效果[8]。
參考文獻：
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[2]朱小芹，唐煌.應(yīng)用型人才培養(yǎng)模式下大學(xué)物理課程體系研究.江蘇技術(shù)師范學(xué)院學(xué)報.2010，16（2），76-78.
[3]張晚云，陸彥文，曾交龍.提高大學(xué)物理課堂教學(xué)質(zhì)量的措施研究.高等教育研究學(xué)報.2010，33（4），119-120.
[4]教育部高等學(xué)校非物理類專業(yè)物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)分委員會.非物理 類理工科大學(xué)物理實驗課程教學(xué)基本要求[M].北京：教育部物理基礎(chǔ)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會.2010
[5]胡俊麗.劉興來.擴招形勢下提高大學(xué)物理課堂教學(xué)質(zhì)量的舉措.物理與工程.2012，22（4），53-54.
[6]郭穎，潘峰.營造良好課堂氣氛，提高大學(xué)物理教學(xué)質(zhì)量.科技信息.416-418
一、數(shù)學(xué)知識研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、本畢業(yè)論文由整理提供概念、命題、法則等知識是不夠的?！酥猓處熯€要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數(shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識和知識呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個領(lǐng)域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識包。在這個知識包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數(shù)學(xué)知識的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識。它最多是教師對教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動時產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時，能夠動員起來的知識不一定符合教學(xué)情境的需要。本畢業(yè)論文由整理提供比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識還有一段距離，教師在教學(xué)時可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時所需要的數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究
Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動是處理數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級學(xué)生的理解能力。
Ball對這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識進行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識。
通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識進一步組織，促進學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是高觀點下的數(shù)學(xué)知識，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動，能提升課堂教學(xué)的有效性。
3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學(xué)的起點。以學(xué)生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進學(xué)生自我評價的參與，促進學(xué)生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識點的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學(xué)生的經(jīng)驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識論以及對特定學(xué)生最有價值的數(shù)學(xué)知識的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗出發(fā)進一步的概念化。超級秘書網(wǎng)
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識；教師教育
一、數(shù)學(xué)知識研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數(shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識和知識呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個領(lǐng)域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數(shù)學(xué)知識的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識。它最多是教師對教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動時產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時，能夠動員起來的知識不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識還有一段距離，教師在教學(xué)時可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時所需要的數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究
Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。MEi的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動是處理數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和MEI的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級學(xué)生的理解能力。
Ball對這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識進行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識進一步組織，促進學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是高觀點下的數(shù)學(xué)知識，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動，能提升課堂教學(xué)的有效性。
3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學(xué)的起點。以學(xué)生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進學(xué)生自我評價的參與，促進學(xué)生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識點的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學(xué)生的經(jīng)驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識論以及對特定學(xué)生最有價值的數(shù)學(xué)知識的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗出發(fā)進一步的概念化。
論文關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；知識；教師教育
一、數(shù)學(xué)知識研究
傳統(tǒng)上認(rèn)為數(shù)學(xué)教師至少要掌握他所教的數(shù)學(xué)知識。班級授課制成熟后，人們開始同意這樣一個原則：除了所教的數(shù)學(xué)知識以外，數(shù)學(xué)教師還需要掌握像組織教學(xué)、控制課堂秩序等一些教學(xué)知識。隨著教學(xué)研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)教師僅僅知道他所教的數(shù)學(xué)的術(shù)語、概念、命題、法則等知識是不夠的。…除此之外，教師還要知道數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)。學(xué)科結(jié)構(gòu)的概念最早源于Schwab。他指出了理解學(xué)科結(jié)構(gòu)的兩種方式：一個方式是句法性地(syntactically)，另一個方式是實體性地(substantively)。所謂句法性地是指從學(xué)科所表現(xiàn)出來的邏輯結(jié)構(gòu)方面去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，引入無理數(shù)表示不可公度線段，引入負(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)表示某些方程的解。前者可以看到，后者看不到，僅是為了保持方程都有解這個論斷的完整性和通用性所做出的一種假設(shè)與解釋。對這三個概念含義的理解，只能通過產(chǎn)生這些概念的前后聯(lián)系才能揭示。所謂實體性地是指從學(xué)科的概念設(shè)計角度去了解學(xué)科結(jié)構(gòu)。比如，歐氏幾何與解析幾何有不同的概念框架。Ball把數(shù)學(xué)的學(xué)科結(jié)構(gòu)知識稱為關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。它是指知識從哪里來，又是如何發(fā)展的，真理是如何確認(rèn)的，又將用到哪里去。
主要有三個維度：一是約定與邏輯建構(gòu)的區(qū)別。正數(shù)在數(shù)軸的右邊或者我們使用十進位值制都是任意的、約定的。而0做除數(shù)沒有定義或者任意一個數(shù)的零次冪都等于1就不是任意的、約定的；二是數(shù)學(xué)內(nèi)部之問的聯(lián)系以及數(shù)學(xué)與其他領(lǐng)域之間的聯(lián)系；三是了解數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的基本活動：尋找模式、提出猜想、證明斷言、證實解法和尋求一般化。
對數(shù)學(xué)知識的研究，拓寬了人們對教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的理解。它顯示教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是很復(fù)雜的，除了術(shù)語、概念、法則、程序之外，還有數(shù)學(xué)學(xué)科結(jié)構(gòu)或者關(guān)于數(shù)學(xué)的知識。這些知識對于教師確定為什么教、選擇教什么和怎么教都會產(chǎn)生影響。比如，約定的與邏輯建構(gòu)的概念的教學(xué)策略會有很大的不同，邏輯建構(gòu)的概念就必須講清楚它怎么來的，為什么要定義這個概念，怎樣定義，它會有什么用，它與其他的概念的關(guān)系是怎樣的，它的應(yīng)用有哪些限度。而約定的概念就沒有這些必要。但是，有效地數(shù)學(xué)教學(xué)，僅僅具有上述知識還不夠。它缺少對學(xué)生的考慮，不能給教師提供教授一群特定的學(xué)生所必須的教學(xué)上的理解。比如，僅僅通過推導(dǎo)知道(+6)=a+2ab+b對有效教學(xué)是不夠的，教師還需要知道一些學(xué)生容易把分配律過度推廣而記成+6)=a+b，知道用矩形的面積表征可以有效地消除這一誤解。學(xué)生誤解的知識與消除誤解的教學(xué)策略顯然不能納入數(shù)學(xué)知識的框架，教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的復(fù)雜性要求更精致的框架來描述。
二、教材分析研究
有效的教學(xué)必須考慮學(xué)生已有的知識和知識呈現(xiàn)的最佳序列。在數(shù)學(xué)學(xué)科中，馬力平的知識包(Knowledgepackage)是國際上較為典型的此類研究。知識包是圍繞著一個中心概念而組織起來的一系列相關(guān)概念，是在學(xué)生的頭腦里培育這樣一個領(lǐng)域的縱向過程。(n知識包含有三種主要成分：中心概念、概念序列和概念結(jié)點，也包括概念的表征、意義和建立在這些概念之上的算法。下例是20以內(nèi)數(shù)的加減法的知識包(圖1)。在這個知識包內(nèi)，中心概念是20至100數(shù)的“借位減法”，它是學(xué)習(xí)多位數(shù)的加減的關(guān)鍵前提。
馬力平的知識包實際上是我國內(nèi)地傳統(tǒng)的教材分析研究。這類研究結(jié)果是教學(xué)參考書的主要內(nèi)容之一。它是一種課程知識，是教師對課程的分析，比對數(shù)學(xué)知識的分析更接近教學(xué)用的數(shù)學(xué)。但它也不是教師教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識。它最多是教師對教學(xué)的考慮，沒有考慮師生互動時產(chǎn)生的數(shù)學(xué)需求。教師在教學(xué)時，能夠動員起來的知識不一定符合教學(xué)情境的需要。比如教師預(yù)期的一種學(xué)生的反應(yīng)在與學(xué)生的互動中沒有出現(xiàn)，教師以學(xué)生的這種反應(yīng)為跳板的后繼知識就沒有了用武之地。馬力平概括出的知識包，與教師在課堂教學(xué)時使用的數(shù)學(xué)知識還有一段距離，教師在教學(xué)時可能用得上，也可能用不上。教師在教學(xué)時所需要的數(shù)學(xué)知識遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出教材分析所能提供的內(nèi)容。
三、教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究
Ball開創(chuàng)了教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識研究。她通過分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動，直接研究課堂教學(xué)中教師使用的數(shù)學(xué)知識及其影響。下面以Ball的一個課例來說明其研究方法與結(jié)果。該課內(nèi)容是三年級多位數(shù)減法：Joshua星期一吃了16粒豌豆，星期二吃了32粒豌豆。問Joshua星期二比星期一多吃了多少粒豌豆?學(xué)生在解題過程中提供了六種解法。Sean從16的后繼數(shù)l7開始向后數(shù)數(shù)，一直數(shù)到32得到答案。ba認(rèn)為，32的一半是16，答案就是16。Betsy把表示16和32的教具(豆子)一一配對，數(shù)一下表示32的教具中剩余的沒有配對的豆子得到答案。Mei的方法是直接從表示32的豆子中拿走16粒，數(shù)一下剩余的就行了。Cassandia提供了標(biāo)準(zhǔn)的減法算法，Scan受到啟發(fā)，提供了另一種解法：16+16=32，整節(jié)課，學(xué)生想盡辦法鑒定這些解法的異同。L6JBall認(rèn)為，這節(jié)課教學(xué)的核心活動是處理數(shù)學(xué)知識的關(guān)聯(lián)和控制課堂討論。知識的關(guān)聯(lián)涉及到在具體和符號的模式中，減法和加法是如何關(guān)聯(lián)的、減法的“比較”和“拿走”的解釋是如何關(guān)聯(lián)的、教具的表征如何轉(zhuǎn)化為符號表征、Betsy的配對比較法如何轉(zhuǎn)化為Sean的向后數(shù)數(shù)的方法、Betsy的方法如何和Mei的方法協(xié)調(diào)，控制課堂討論首先表現(xiàn)在提供線索和解釋，推動正確的方法的發(fā)展；其次表現(xiàn)在擱置有問題的方法。比如擱置Riba的說法。Riba的論斷是正確的，但要使其他的學(xué)生能夠明白他的意思，還需要添加幾步推理。但這幾步推理與用它來證明Sean的結(jié)論超過了三年級學(xué)生的理解能力。
Ball對這節(jié)課教師需要使用的數(shù)學(xué)知識進行了歸納。除了傳統(tǒng)的教材分析提供的借位減法的符號算法及其背后的位值制之外，教師還需要其他知識。首先需要知道問題的兩種表征模式(如減法32—16：?與缺失加數(shù)的加法16+?=32)是等價的。其次，還要知道此問題的一些表征：比如像Sean的從17數(shù)到32，或者Mei的從32里拿走l6個等等。第三，教師還需要具有深刻的數(shù)學(xué)眼光去審查、分析和協(xié)調(diào)學(xué)生的多種解法。最后，教師還需要一些關(guān)于數(shù)學(xué)論證的知識。通過上述分析，Ball指出，教材分析只能提供教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的一部分，其余大部分只能在分析數(shù)學(xué)教學(xué)的核心活動中才能得到。
四、啟示
1．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是有效教學(xué)的知識基礎(chǔ)。它與數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)知識、教材分析得出的數(shù)學(xué)知識是不一樣的。它具有一種教學(xué)上有用的數(shù)學(xué)理解，這種理解主要集中于學(xué)生的觀念和誤解上。學(xué)生對特定內(nèi)容的理解是有差異的，教師需要調(diào)和學(xué)生不同的理解方式并在這些方式之間靈活自如地轉(zhuǎn)換，引導(dǎo)學(xué)生把知識進一步組織，促進學(xué)生在已有的知識基礎(chǔ)上有效學(xué)習(xí)。
2．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識是高觀點下的數(shù)學(xué)知識，它聯(lián)系著更深刻的概念和方法。Ball的課例僅是小學(xué)三年級的兩位數(shù)退位減法，但是，通過對課堂教學(xué)核心數(shù)學(xué)活動的分析顯示，隱藏在退位減法之外的，是高等數(shù)學(xué)的等價、同構(gòu)、相似性和表征之間的轉(zhuǎn)化等概念。從結(jié)構(gòu)上說，前五種解法是同構(gòu)的，前五種解法和最后一種缺失加數(shù)的加法是等價的。但前四種解法的解釋模型是不同的，有三種是“拿走”模型，一種是“比較”模型。只有從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上理清這些解法的關(guān)系，才能有效地引導(dǎo)學(xué)生在不同的方法之間轉(zhuǎn)換并分清這些方法的異同，促進學(xué)生高效地組織自己的數(shù)學(xué)知識。香港的“課堂學(xué)習(xí)研究”也證實，數(shù)學(xué)專家參與的教研活動，能提升課堂教學(xué)的有效性。
3．教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識存在一定的結(jié)構(gòu)。首先是學(xué)生理解的知識。像Ball的課例所展示的，學(xué)生對退位減法的理解有不同的方式、不同的層次和一些誤解，這些知識是教師教學(xué)的起點。以學(xué)生已有的知識為起點自下而上的講授使知識加以擴充，把新知識與學(xué)生已經(jīng)構(gòu)成內(nèi)在網(wǎng)絡(luò)的概念和方法聯(lián)系起來，這是提高教學(xué)效率的奧妙；其次是教學(xué)策略。像Ball的課例所展示的，學(xué)生的理解各種各樣，需要教師使用相應(yīng)的策略來控制課堂討論，協(xié)調(diào)不同的方法，促進正確的方法發(fā)展，擱置有問題的方法，這是提高課堂教學(xué)效率的重要手段；第三、控制與反饋的知識。教師需要提供線索和解釋，矯正學(xué)生的誤解，促進學(xué)生自我評價的參與，促進學(xué)生進一步精簡合理化知識；第四，課程知識。像馬力平的知識包概念所揭示的，特定課題呈現(xiàn)的最佳序列，它的來龍去脈及與其它學(xué)科的橫向聯(lián)系，是教師用來教學(xué)的數(shù)學(xué)知識基礎(chǔ)。顧泠沅的研究也揭示，辨明一門學(xué)科各知識點的固著關(guān)系及其潛在距離，構(gòu)建適合學(xué)生特點的、具有合適梯度的結(jié)構(gòu)序列，是提高教學(xué)效率的基礎(chǔ)；最后是教學(xué)目的的統(tǒng)領(lǐng)性觀念。像退位減法，是像Ball那樣對學(xué)生的經(jīng)驗進行精簡合理化還是直接教授退位減法的法則，取決于教師對數(shù)學(xué)的理解、信念數(shù)學(xué)的認(rèn)識論以及對特定學(xué)生最有價值的數(shù)學(xué)知識的判斷。當(dāng)然，這些成分是從不同的維度來說明教學(xué)用的數(shù)學(xué)知識的屬性，它們之間的關(guān)系及提高課題教學(xué)效率的機制還需從課堂教學(xué)的經(jīng)驗出發(fā)進一步的概念化。
