時(shí)間：2023-08-01 09:22:39
緒論：在尋找寫(xiě)作靈感嗎？愛(ài)發(fā)表網(wǎng)為您精選了8篇數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，愿這些內(nèi)容能夠啟迪您的思維，激發(fā)您的創(chuàng)作熱情，歡迎您的閱讀與分享！
【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué)知識(shí)；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)教學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容（基本要求）的整體結(jié)構(gòu)有兩根強(qiáng)有力的支柱，即數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法.數(shù)學(xué)思想方法產(chǎn)生數(shù)學(xué)知識(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)又蘊(yùn)載著思想方法，二者好比鳥(niǎo)之雙翼，須臾不離，缺一不可.從教育的角度來(lái)看，數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更為重要，這是因?yàn)橹R(shí)的記憶是暫時(shí)的，數(shù)學(xué)思想方法的掌握是永久的；知識(shí)只能使學(xué)生受益一時(shí)，數(shù)學(xué)思想方法將使學(xué)生受益終生.日本學(xué)者米山國(guó)藏指出：“無(wú)論是對(duì)于科學(xué)工作者、技術(shù)人員還是數(shù)學(xué)教育工作者，最重要的是數(shù)學(xué)的精神、思想和方法，而數(shù)學(xué)的知識(shí)只是第二位.”世界著名數(shù)學(xué)家波利亞在60年代曾做過(guò)統(tǒng)計(jì)，普通中學(xué)的學(xué)生畢業(yè)后在其工作中需要用到數(shù)學(xué)的（包括數(shù)學(xué)家在內(nèi)）約占全部學(xué)生的30%，而其余的70%則幾乎用不到任何具體的數(shù)學(xué)知識(shí).正是基于這樣的分析，波利亞認(rèn)為：“一個(gè)教師，他若要同樣地去教他所有的學(xué)生――未來(lái)用數(shù)學(xué)和不用數(shù)學(xué)的人，那么他在教解題時(shí)應(yīng)當(dāng)教三分之一的數(shù)學(xué)和三分之二的常識(shí)（即是指一般性的思想方法或思維模式）.”這就是說(shuō)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，必須重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).那么怎樣在數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)？筆者的觀點(diǎn)是：
一、激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)在動(dòng)機(jī)
要想使學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)并掌握數(shù)學(xué)思想方法，必須讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法能幫助自己提高學(xué)習(xí)效率，改善學(xué)習(xí)成績(jī).這樣才有可能受到激勵(lì)，產(chǎn)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的動(dòng)機(jī).因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要注意通過(guò)演示、講解、討論等，突出數(shù)學(xué)思想方法在學(xué)習(xí)和解決問(wèn)題中的作用和價(jià)值，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)思想方法對(duì)學(xué)習(xí)有改善作用.
例如，問(wèn)題1：對(duì)于每個(gè)實(shí)數(shù)x，設(shè)f（x）是4x + 1，x + 2和-2x + 4三個(gè)函數(shù)中的最小值，求f（x）的最大值.
分析：題中沒(méi)有直接給出f（x）的表達(dá)式，想通過(guò)抽象的數(shù)量關(guān)系分析求解，顯然是困難較大，但是如果運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法，將問(wèn)題與函數(shù)圖像聯(lián)系起來(lái)，利用圖像的直觀作用，就容易弄清f（x）的具體內(nèi)容，確定取最大值的點(diǎn)的位置，使原題順利解出. 即在同一平面角坐標(biāo)系中，作函數(shù)
y = 4x + 1 ①
y = x + 2 ②
y = -2x + 4 ③
的圖像，如圖1，觀察圖像即得f（x）的最大值是直線y = x + 2與直線y = -2x + 4的交點(diǎn)E的縱坐標(biāo)，即函數(shù)f（x）有最大值■.
為了激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的的興趣，教師還可以讓學(xué)生比較、評(píng)價(jià)自己使用數(shù)學(xué)思想方法和不使用數(shù)學(xué)思想方法條件下的學(xué)習(xí)成績(jī)，要讓學(xué)生明白，優(yōu)良的數(shù)學(xué)成績(jī)是正確應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法的結(jié)果，來(lái)激勵(lì)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的主動(dòng)性.從而看到數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用所帶來(lái)的好處.
二、結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，在具體情境中教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法
因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用往往離不開(kāi)具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，所以數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)作為學(xué)生面臨的實(shí)際學(xué)習(xí)任務(wù)的一部分來(lái)教，通過(guò)提供數(shù)學(xué)思想方法可以應(yīng)用的情境，讓學(xué)生逐步學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法.
例如，“垂線”概念的教學(xué)設(shè)計(jì)：
活動(dòng)一：操作
如圖2，讓學(xué)生把課前準(zhǔn)備好的“相交線模型”中的其中一根木棒固定，把其中的另一根木棒繞固定點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，觀察轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，把你認(rèn)為兩根木棒比較美觀的特殊位置固定.
活動(dòng)二：畫(huà)圖
引導(dǎo)學(xué)生用幾何圖形表示兩根木棒的特殊位置，并標(biāo)上字母（如圖3）.
活動(dòng)三： 測(cè)角
引導(dǎo)學(xué)生用量角器測(cè)量圖3中的四個(gè)角.
活動(dòng)四：形成概念
讓學(xué)生為這一特殊情形命名，并用自己的語(yǔ)言下定義，然后與書(shū)本上比較異同.
活動(dòng)五：反思
讓學(xué)生反思垂線概念是怎樣得到的，與相交線概念的聯(lián)系.
以上的教學(xué)過(guò)程，其滲透的是從一般到特殊、運(yùn)動(dòng)與靜止、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)美等重要的數(shù)學(xué)思想方法. 學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)活動(dòng)，形成了豐富的垂線概念的表象，水到渠成地得到垂線的定義，當(dāng)學(xué)生對(duì)垂線概念自主建構(gòu)的同時(shí)，也獲得了對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的體驗(yàn).
數(shù)學(xué)思想方法與數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)合是非常緊密的，是相互滲透、互相融合的，只要教師在教學(xué)中有意識(shí)地進(jìn)行滲透、傳授，學(xué)生就能獲得大量的關(guān)于解決問(wèn)題的一般的特殊的數(shù)學(xué)思想方法.因?yàn)槟芴岣呷说膶W(xué)習(xí)記憶和思維效率的數(shù)學(xué)思想方法是無(wú)數(shù)的，雖然某些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)思想方法可以很快地學(xué)會(huì)，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)是不能立竿見(jiàn)影的，所以數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練是長(zhǎng)期、反復(fù)和螺旋上升的.
三、按程序性知識(shí)學(xué)習(xí)規(guī)律教學(xué)數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)思想方法也是一種程序性知識(shí)，其教學(xué)應(yīng)符合程序性知識(shí)的學(xué)習(xí)規(guī)律.先是提供數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的實(shí)例，通過(guò)師生共同分析歸納出有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法，再在教師指導(dǎo)下進(jìn)行該數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用練習(xí).比如，“逆向思考方法”的教學(xué)，教師從“司馬光砸缸”的故事開(kāi)始，讓學(xué)生討論“司馬光砸水缸救人”運(yùn)用的方法，當(dāng)學(xué)生從故事中概括出：將“人救出水”辦不到時(shí)，就讓“水離開(kāi)人”，那么“逆向思考的數(shù)學(xué)方法”也就水到渠成了.然后讓學(xué)生嘗試解題：池塘里睡蓮覆蓋的面積每天增大 1 倍，若經(jīng)17天，可長(zhǎng)滿整個(gè)池塘.問(wèn)長(zhǎng)滿半個(gè)池塘需要多少天？有的學(xué)生從正向思考，解法較繁，有的學(xué)生逆向思考，解法較巧.即由“每天增大 1 倍”知，從覆蓋一個(gè)池塘退回覆蓋半個(gè)池塘只需1 天，故長(zhǎng)滿半個(gè)池塘需17 - 1 = 16（天）.當(dāng)學(xué)生體會(huì)到好的問(wèn)題解決通常要應(yīng)用有效的數(shù)學(xué)思想方法時(shí)，就能自發(fā)地運(yùn)用所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)思想方法來(lái)調(diào)控其學(xué)習(xí).
接著，讓學(xué)生運(yùn)用該數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行練習(xí)（練習(xí)題略）.
在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，重視數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生多進(jìn)行在一系列相似情境和不同情境中的變式操作，這對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握是大有裨益的.
四、指導(dǎo)學(xué)生監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)思想方法的使用
在數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用過(guò)程中，學(xué)生需要不時(shí)地檢測(cè)數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的程度，分析當(dāng)前的學(xué)習(xí)任務(wù)是否滿足數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的條件，利用數(shù)學(xué)思想方法取得了哪些進(jìn)展等.
例如，解關(guān)于x的方程：x4 - 10x3 - 2（a - 11）x2 + 2（5a + 6）x + 2a + a2 = 0.
這是一個(gè)關(guān)于x的四次方程，學(xué)生解決這一問(wèn)題的常規(guī)方法是降次，通過(guò)因式分解將4次降為2次，但按這樣的方法解決問(wèn)題并非容易.這時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生自我提問(wèn)：“我的解題方法能夠徹底解決問(wèn)題嗎？”“如果不行，我能換一個(gè)思考角度，或者換一種解題方法嗎？”等.事實(shí)上，如果換一個(gè)思考角度，采取逆向思維方法思考，將x視為常量，而將a看為變量，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解關(guān)于a的二次方程a2 - 2（x2 - 5x - 1）a + （x4 - 10x3 + 22x2 + 12x） = 0的問(wèn)題.解該方程得a = x2 - 6x 或 a = x2 - 4x - 2.到此，我們?cè)侔褁看為變量，a視為常量，解關(guān)于x的二次方程，得x1，2 = 3± ，x3，4 = 2± .
“自我提問(wèn)”就是讓學(xué)生通過(guò)自我意識(shí)相應(yīng)地調(diào)節(jié)自己的思維和行動(dòng).在數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中，教師要不斷提醒學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)用的適用條件，教會(huì)他們通過(guò)“自我提問(wèn)”監(jiān)控利用數(shù)學(xué)思想方法時(shí)所取得的進(jìn)展，問(wèn)題一旦發(fā)現(xiàn)，則要教他們?nèi)绾螄L試矯正并加以評(píng)價(jià)，并逐步把外部指導(dǎo)內(nèi)化為學(xué)生自己監(jiān)控和調(diào)節(jié)過(guò)程.
現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)認(rèn)為所有的研究都要強(qiáng)調(diào)教學(xué)生知道何時(shí)、何處應(yīng)用已學(xué)過(guò)的數(shù)學(xué)思想方法的重要性，教會(huì)他們注意正在使用的數(shù)學(xué)思想方法在什么場(chǎng)合使用以及是否適用，則效果更加好.比如，在解題教學(xué)中，先讓學(xué)生獨(dú)立思考解題的思路，然后組織學(xué)生討論，在討論中，讓學(xué)生說(shuō)出自己的解題過(guò)程，大家對(duì)照過(guò)程和結(jié)果，看看誰(shuí)的方法最好，從而尋找最佳解題思路，這是訓(xùn)練數(shù)學(xué)思想方法的一種有效方法.因?yàn)橛行?，它?duì)數(shù)學(xué)思想方法的概括和保持是關(guān)鍵性的.
五、讓學(xué)生在合作學(xué)習(xí)中運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法
所謂合作學(xué)習(xí)，是指教學(xué)活動(dòng)中學(xué)生相互討論、互相提問(wèn)、互相幫助、共同學(xué)習(xí)的形式.它被現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家視為數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)中的一種重要的教學(xué)組織形式.
在合作學(xué)習(xí)中，通過(guò)學(xué)生間的相互觀察和模仿，可以更貼近地觀測(cè)他人巧妙使用的數(shù)學(xué)思想方法，通過(guò)“跳一跳”使自己掌握新的數(shù)學(xué)思想方法.在合作學(xué)習(xí)中，由于學(xué)生之間更密切地接觸交流，能更清楚自己與其他同學(xué)在掌握數(shù)學(xué)思想方法上的差距，從而產(chǎn)生“奮起直追”的念頭，起到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的激勵(lì)和鞭策作用.
因此，在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)中，教師應(yīng)大膽創(chuàng)設(shè)寬松的民主氣氛，使學(xué)生敢于、樂(lè)于思考和討論，讓他們的思維進(jìn)入自覺(jué)的思維情境中，有效地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法.
一、開(kāi)展數(shù)學(xué)思想方法的教育是新課標(biāo)提出的重要教學(xué)要求。
新課標(biāo)突出強(qiáng)調(diào)：“在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)好概念的基礎(chǔ)上掌握數(shù)學(xué)的規(guī)律（包括法則、性質(zhì)、公式、公理、定理、數(shù)學(xué)思想和方法）。良好的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)不完全取決于教材內(nèi)容和知識(shí)點(diǎn)的數(shù)量，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)的聯(lián)系、結(jié)合和組織方式，把握結(jié)構(gòu)的層次和程序展開(kāi)后所表現(xiàn)出來(lái)的內(nèi)在規(guī)律。數(shù)學(xué)思想方法能夠優(yōu)化這種組織方式，使各部分?jǐn)?shù)學(xué)知識(shí)融合成有機(jī)的整體，發(fā)揮其重要的指導(dǎo)作用。甚至?xí)?duì)個(gè)體的世界觀、方法論產(chǎn)生深刻的影響，形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)效果的廣泛遷移。
二、初中數(shù)學(xué)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法
最基本的數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)形結(jié)合的思想，分類討論思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)的思想，突出這些基本思想方法，就相當(dāng)于抓住了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的精髓。
1、數(shù)形結(jié)合的思想
“數(shù)”和“形”是數(shù)學(xué)教學(xué)中既有區(qū)別又有聯(lián)系的兩個(gè)對(duì)象。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，突出數(shù)形結(jié)合思想，有利于學(xué)生從不同的側(cè)面加深對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問(wèn)題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力。
2、分類討論的思想
“分類”是生活中普遍存在著的，分類思想是自然科學(xué)乃至社會(huì)科學(xué)研究中的基本邏輯方法，也是研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法，它始終貫穿于整個(gè)數(shù)學(xué)教學(xué)中。從整體上看，中學(xué)數(shù)學(xué)分代數(shù)、幾何兩大類，然后采用不同方法進(jìn)行研究，就是分類思想的體現(xiàn)。從具體內(nèi)容上看，初中數(shù)學(xué)中實(shí)數(shù)的分類、三角形的分類、方程的分類等等，在教學(xué)中就需要啟發(fā)學(xué)生按不同的情況去對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類的方法原則，形成分類的思想。
3、轉(zhuǎn)化思想
數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決過(guò)程就是一系列轉(zhuǎn)化的過(guò)程，中學(xué)數(shù)學(xué)處處都體現(xiàn)出轉(zhuǎn)化的思想，如化繁為簡(jiǎn)、化難為易，化未知為已知，化高次為低次等，是解決問(wèn)題的一種最基本的思想。
三、數(shù)學(xué)教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)把握的幾個(gè)方面
1、在概念教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法
數(shù)學(xué)概念是現(xiàn)實(shí)世界中空間形式和數(shù)量關(guān)系及其本質(zhì)屬性在思維中的反映，人們先通過(guò)感覺(jué)、知覺(jué)對(duì)客觀事物形成感性認(rèn)識(shí)，再經(jīng)過(guò)分析比較，抽象概括等一系列思維活動(dòng)而抽取事物的本質(zhì)屬性才形成概念。因此，概念教學(xué)不應(yīng)只是簡(jiǎn)單的給出定義，而要引導(dǎo)學(xué)生感受及領(lǐng)悟隱含于概念形成之中的數(shù)學(xué)思想。
2、在定理和公式的探求中挖掘數(shù)學(xué)思想方法
著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)最好到數(shù)學(xué)家的紙簍里找材料，不要只看書(shū)上的結(jié)論。”這就是說(shuō)，對(duì)探索結(jié)論過(guò)程的數(shù)學(xué)思想方法學(xué)習(xí)，其重要性決不亞于結(jié)論本身。數(shù)學(xué)定理、公式、法則等結(jié)論，都是具體的判斷，其形成大致分成兩種情況：一是經(jīng)過(guò)觀察，分析用不完全歸納法或類比等方法得出猜想，爾后再尋求邏輯證明；二是從理論推導(dǎo)出發(fā)得出結(jié)論。總之這些結(jié)論的取得都是數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的成功范例。
3、在問(wèn)題解決過(guò)程中強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法
許多教師往產(chǎn)生這樣的困惑：題目講得不少，但學(xué)生總是停留在模仿型解題的水平上，只要條件稍稍一變則不知所措，學(xué)生一直不能形成較強(qiáng)解決問(wèn)題的能力。更談不上創(chuàng)新能力的形成。究其原因就在于教師在教學(xué)中僅僅是就題論題，殊不知授之以“漁”比授之以“魚(yú)”更為重要。
四、進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)應(yīng)遵循的原則。
1、循序漸進(jìn)原則。
數(shù)學(xué)思想方法的形成難于知識(shí)的理解與掌握。學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想和方法一般要經(jīng)歷三個(gè)階段，一是模仿形成階段，它們往往只注意了數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，而忽視了聯(lián)結(jié)這些知識(shí)的觀點(diǎn)，以及由此產(chǎn)生的解決問(wèn)題的方法和策略，即使有所覺(jué)察，也是處于"朦朦朧朧"、"似有所悟"的境界。二是初步應(yīng)用階段，即學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)開(kāi)始已經(jīng)明朗，開(kāi)始理解解題過(guò)程中所使用的探索方法和策略，也會(huì)概括總結(jié)出來(lái)。 三是自覺(jué)應(yīng)用階段，學(xué)生能根據(jù)數(shù)學(xué)問(wèn)題，恰當(dāng)運(yùn)用某種思想方法進(jìn)行探索，以求得問(wèn)題的解決。學(xué)生數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)過(guò)程，決定了數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)不可能一步到位，也有一個(gè)相應(yīng)的循序漸進(jìn)、由淺入深的過(guò)程，因此要按照"反復(fù)教育、初步形成、應(yīng)用發(fā)展"的順序來(lái)完成某一數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。
2、學(xué)生參與原則。
由于數(shù)學(xué)思想方法比數(shù)學(xué)知識(shí)更抽象，不可能照搬、復(fù)制。數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程的教學(xué)，重在思辯操作，離開(kāi)教學(xué)活動(dòng)過(guò)程，數(shù)學(xué)思想方法也就無(wú)從談起。只有組織學(xué)生積極參與教學(xué)過(guò)程，在老師的啟發(fā)引導(dǎo)下逐步領(lǐng)悟、形成、掌握數(shù)學(xué)思想方法。因此，要通過(guò)教學(xué)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)過(guò)程中，根據(jù)自己的體驗(yàn)，用自己的思維方式構(gòu)建出數(shù)學(xué)思想方法的體系。
五、數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略
1、分析教材，細(xì)劃目標(biāo)。
數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)在更高層次上的抽象概括，它蘊(yùn)涵于數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用過(guò)程中。在一章或一單元的教學(xué)中，將涉及很多的數(shù)學(xué)思想方法，就要有意識(shí)突出一種或幾種思想方法的教學(xué)，如在不等式單元教學(xué)中將涉及代換思想、函數(shù)方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類思想。為此，在進(jìn)行教學(xué)目標(biāo)設(shè)計(jì)時(shí)要注意其教學(xué)側(cè)重點(diǎn)，細(xì)劃目標(biāo)，從教學(xué)思想領(lǐng)域和認(rèn)知領(lǐng)域兩個(gè)方面分別設(shè)置目標(biāo)。
2、嘗試不同的教學(xué)方法
長(zhǎng)期以來(lái)，“教師教，學(xué)生學(xué)”是教學(xué)過(guò)程中的一個(gè)傳統(tǒng)模式，這樣的教學(xué)法已不再適應(yīng)新的教學(xué)觀，應(yīng)將教師的作用從“教”提高到“導(dǎo)”，“導(dǎo)”就是引導(dǎo)，即教師的作用是引導(dǎo)學(xué)生，充分地使學(xué)生展示自己的思維能力和想象能力，盡可能讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)、歸納、總結(jié)知識(shí)。要采取各種教學(xué)方法，如：討論法、談話法、實(shí)驗(yàn)法等有利于引導(dǎo)學(xué)生的教學(xué)方法，從而提高素質(zhì)培養(yǎng)能力。
一、滲透性原則
中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)表層知識(shí)與深層知識(shí)，即數(shù)學(xué)思想和方法組成的有機(jī)整體。表層知識(shí)一般包括概念、性質(zhì)、法則、公式、公理、定理等數(shù)學(xué)的基本知識(shí)和基本技能，表層知識(shí)是深層知識(shí)的基礎(chǔ)，是教學(xué)大綱中明確規(guī)定的。教材中明確給出的，且是具有操作性較強(qiáng)的知識(shí)；深層知識(shí)一般是蘊(yùn)含于表層知識(shí)之中的，是數(shù)學(xué)的精髓，它支撐和統(tǒng)帥著表層知識(shí)，教師必須在講授表層知識(shí)的過(guò)程中不斷滲透相關(guān)的深層知識(shí)，才能使學(xué)生在掌握表層知識(shí)的同時(shí)，領(lǐng)悟到深層知識(shí)，使學(xué)生的表層知識(shí)達(dá)到一個(gè)質(zhì)的“飛躍”。
所謂滲透性原則，是指在表層知識(shí)教學(xué)中一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的教學(xué)思想方法，而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的教學(xué)過(guò)程，有意識(shí)潛移默化地引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)含其中的數(shù)學(xué)思想和方法。
首先，因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法與表層的數(shù)學(xué)知識(shí)是有機(jī)整體，它們相互聯(lián)系、相互依存、協(xié)同發(fā)展，那種只重視講授表層知識(shí)，而不注重滲透思想方法的教學(xué)是不完備的教學(xué)，它不利于學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的真正理解和掌握，使學(xué)生的知識(shí)水平永遠(yuǎn)停留在一個(gè)初級(jí)階段，難以提高；另外，由于思想方法總是以表層知識(shí)教學(xué)為載體，若單純強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)思想方法，就會(huì)使教學(xué)流于形式，成為無(wú)源之水、無(wú)本之木，學(xué)生也難以領(lǐng)略到思想方法的真諦。
其次，由于數(shù)學(xué)思想方法是表層知識(shí)本質(zhì)和內(nèi)在聯(lián)系的反映，它具有更大的抽象性和概括性，如果說(shuō)數(shù)學(xué)方法還具有某種形式的話，那么數(shù)學(xué)思想就較難找到固定的形式，而體現(xiàn)為一種意識(shí)或觀念。因此，它不是一朝一夕、一招一式可以完成的，而是要日積月累，長(zhǎng)期滲透，才能水到渠成。
如上兩個(gè)方面，說(shuō)明了貫徹以滲透性原則為主線的重要性、必要性和可行性。
二、反復(fù)性原則
數(shù)學(xué)思想方法屬于邏輯思維的范疇，學(xué)生對(duì)它的領(lǐng)會(huì)和掌握具有一個(gè)“從個(gè)別到一般、從具體到抽象、從感性到理性、從低級(jí)到高級(jí)”的認(rèn)識(shí)過(guò)程，由于思想方法和具體的表層知識(shí)相比，更加抽象和概括。因此，這個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程具有長(zhǎng)期性和反復(fù)性的特點(diǎn)。
一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法的形成有一個(gè)過(guò)程，學(xué)生通過(guò)具體表層知識(shí)的學(xué)習(xí)，對(duì)于蘊(yùn)含其中的某種數(shù)學(xué)思想方法開(kāi)始產(chǎn)生感性的認(rèn)識(shí)，經(jīng)過(guò)多次反復(fù)，在豐富感性認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上逐漸概括形成理性認(rèn)識(shí)，然后在應(yīng)用中對(duì)形成的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行驗(yàn)證和發(fā)展，加深理性認(rèn)識(shí)。從較長(zhǎng)的學(xué)習(xí)過(guò)程來(lái)看，學(xué)生是經(jīng)過(guò)多次地反復(fù)，逐漸提高認(rèn)識(shí)的層次，從低級(jí)到高級(jí)螺旋上升的。
三、系統(tǒng)性原則
數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)與表層知識(shí)教學(xué)一樣，只有成為系統(tǒng)。建立起自己的結(jié)構(gòu)，才能充分發(fā)揮它的整體效益。當(dāng)前在數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)中，一些教師的隨意性較強(qiáng)。在某個(gè)表層知識(shí)教學(xué)中，突出什么數(shù)學(xué)思想方法，挖掘到什么深度，要求到什么程度，往往比較隨意，缺乏系統(tǒng)和科學(xué)性。盡管數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)具有自己的特色，系統(tǒng)性不如具體的數(shù)學(xué)表層知識(shí)那樣嚴(yán)密，但進(jìn)行系統(tǒng)性研究，掌握它們的內(nèi)在結(jié)構(gòu)，制訂各階段教學(xué)的目的要求，提高教學(xué)的科學(xué)性，還是十分必要的。
要進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法系統(tǒng)的研究，需要從兩方面人手：一方面挖掘每個(gè)具體數(shù)學(xué)表層知識(shí)教學(xué)中可以進(jìn)行哪些數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)；另一方面又要研究一些重要的數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些表層知識(shí)點(diǎn)教學(xué)中進(jìn)行滲透，從而在縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的系統(tǒng)。
四、明確性原則
數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，在貫徹滲透性、反復(fù)性和系統(tǒng)性原則的同時(shí)，還要注意到明確性原則，從數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的整個(gè)過(guò)程來(lái)看，只是長(zhǎng)期、反復(fù)、不明確地滲透，將會(huì)影響學(xué)生從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)的飛躍，妨礙了學(xué)生有意識(shí)地去掌握和領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)思想方法，滲透性和明確性是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)辯證的兩個(gè)方面。因此，在反復(fù)滲透的過(guò)程中，利用適當(dāng)機(jī)會(huì)，對(duì)某種數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行概括、強(qiáng)化和提高，對(duì)它的內(nèi)容、名稱、規(guī)律、運(yùn)用方法適度明確化，應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的又一個(gè)原則。
當(dāng)前，在中學(xué)數(shù)學(xué)各科教材中，數(shù)學(xué)思想方法的內(nèi)容顯得隱蔽且薄弱，除去一些具體的數(shù)學(xué)方法，比如消元法、換元法、待定系數(shù)法、綜合法、分析法、比較法等有明確地陳述外，一些重要的數(shù)學(xué)思想方法都沒(méi)有比較明確和系統(tǒng)地閘述。比如，數(shù)形結(jié)合思想方法，分類討論思想方法，化歸、轉(zhuǎn)換思想方法，系統(tǒng)思想方法，辯證思想方法等，它們一直蘊(yùn)含在基礎(chǔ)知識(shí)教學(xué)之中，隱藏在幕后。我們認(rèn)為，適當(dāng)安排它們?cè)诮虒W(xué)中、出現(xiàn)在前臺(tái)亮相，對(duì)于學(xué)生領(lǐng)會(huì)和掌握是大有裨益的。
當(dāng)前，貫徹明確化原則勢(shì)必在數(shù)學(xué)表層知識(shí)教學(xué)中進(jìn)行，處理不好會(huì)干擾基礎(chǔ)知識(shí)的教學(xué)，我們應(yīng)當(dāng)在整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，有計(jì)劃、有步驟地進(jìn)行，尤其可以在章節(jié)小結(jié)中去完成明確化的任務(wù)。另外，明確化也要做到適度，要針對(duì)教材的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際，有一個(gè)從淺至深、從不全面到較全面的過(guò)程。
一、初中數(shù)學(xué)教材中的數(shù)學(xué)思想方法
1.符號(hào)的思想
研究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，為使問(wèn)題簡(jiǎn)明，常常要引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)，這種引進(jìn)數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)簡(jiǎn)化問(wèn)題的思想就是符號(hào)思想，用字母表示數(shù)的思想就屬于符號(hào)思想。符號(hào)既可表示數(shù)，亦可表示量、關(guān)系、運(yùn)算、圖形等，符號(hào)思想在初中數(shù)學(xué)各章節(jié)都出現(xiàn)，可以說(shuō)沒(méi)有符號(hào)就沒(méi)有代數(shù)、沒(méi)有幾何，它是簡(jiǎn)化問(wèn)題最基本的方法，利用它可以提高我們的記憶力，起到化繁為簡(jiǎn)的目的，因此我們?cè)诮虒W(xué)中要貫穿這個(gè)思想，提高學(xué)生的思維能力。
例：把（a+b）2-（a-b）2分解因式
學(xué)生A：解：原式＝a2+2ab+b2-a2+2ab-b2＝4ab
學(xué)生B：解：原式＝（a+b+a-b）（a+b-a+b）＝4ab
分析：剛學(xué)分解因式時(shí)，有一部分學(xué)生會(huì)采用學(xué)生A的做法，因?yàn)樗麄冞€沒(méi)有深刻地理解公式a2-b2＝（a+b）（a-b）里的a，b的意義，所以不會(huì)想到學(xué)生B的做法。但是如果把題目變?yōu)椋?a+b）2-（a+2b）2，學(xué)生們會(huì)發(fā)現(xiàn)用學(xué)生A的方法分解因式困難，而采取學(xué)生B的做法，運(yùn)用公式卻能分解因式。此時(shí)，教師可強(qiáng)調(diào)公式里的a，b不僅可以表示實(shí)數(shù)，還可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
2.分類討論的思想
分類思想指的是一種依據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)，將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想方法。分類在解題中是一種很重要的方法，掌握分類思想，有助于學(xué)生提高理解知識(shí)、整理知識(shí)和獨(dú)立獲得知識(shí)的能力。運(yùn)用這種方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題要注意兩點(diǎn)：一是不能遺漏，二是不能重復(fù)。
例：如圖1，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC＝4cm，CD＝8cm，點(diǎn)P從A開(kāi)始沿AB邊向B以3cm/s的速度移動(dòng)，點(diǎn)Q從C開(kāi)始沿CD邊向D以1cm/s的速度移動(dòng)，如果點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）。如果P和Q的半徑都是2cm，那么t為何值時(shí)，P和Q外切？
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圖1
分析：因?yàn)镻和Q的半徑都是2cm，所以當(dāng)PQ＝4cm時(shí)，P和Q外切。而當(dāng)PQ＝4cm時(shí)，如果PQ//AD，那么四邊形APQD是平行四邊形；如果PQ與AD不平行，那么四邊形APQD是等腰梯形。本題應(yīng)該分成兩類討論，最后可得當(dāng)t為2s或3s時(shí)，P和Q外切。有些學(xué)生經(jīng)常會(huì)漏解，教師在教學(xué)中要把重點(diǎn)放在教會(huì)學(xué)生如何去分類，不要就題講題。
3.轉(zhuǎn)化的思想
轉(zhuǎn)化思想又稱化歸思想，是最常用的數(shù)學(xué)思想方法，它實(shí)際上貫穿于解題的全過(guò)程，它是根據(jù)已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)把問(wèn)題進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解決的或容易解決的思想方法，最終目的是：化繁為簡(jiǎn)，化抽象為直觀，化隱為顯，化難為易，化未知為已知等等。如在數(shù)的運(yùn)算中，將減法化成加法，除法化成乘法，冪的運(yùn)算可變成指數(shù)的加減運(yùn)算；在分式計(jì)算中，把異分母分式化成同分母分式。在解方程中，把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”；分式方程變?yōu)檎椒匠?。在證明中，也常常用到轉(zhuǎn)化的思想。
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圖2
例：如圖2，已知?荀ABCD中，AB＝2AD，∠BAD＝60°，E、F分別是AB和CD的中點(diǎn)。求證：EF、BD互相垂直平分。
分析：因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以可以轉(zhuǎn)化為證明四邊形BFDE是菱形，顯然要連接BF和DE，由已知條件，很容易先證得四邊形BFDE是平行四邊形。接著要證一組鄰邊相等，可轉(zhuǎn)化為先證AED是等邊三角形，再根據(jù)已知AB＝2AD，即可得到BE＝DE。有些學(xué)生對(duì)幾何證明題甚感頭痛，主要是因?yàn)樗麄儧](méi)有掌握解決證明題的思想方法。
4.數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)，因而數(shù)學(xué)研究總是圍繞著數(shù)與形進(jìn)行的?！皵?shù)”就是方程、函數(shù)、不等式及表達(dá)式等，“形”就是圖形、圖象、曲線等。數(shù)形結(jié)合的本質(zhì)是數(shù)量關(guān)系決定了幾何圖形的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)反映了數(shù)量關(guān)系。數(shù)形結(jié)合就是抓住數(shù)與形之間的內(nèi)在聯(lián)系，以“形”直觀地表達(dá)數(shù)，以“數(shù)”精確地研究形。華羅庚曾說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺(jué)，形缺數(shù)時(shí)難入微。”通過(guò)深入的觀察、聯(lián)想，由形思數(shù)，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺(jué)。
例：若a>0，b
分析：如果從“數(shù)”的范圍去討論這個(gè)問(wèn)題頗顯困難，但若從“形”的角度去考慮，利用數(shù)軸很容易得到b
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5.函數(shù)與方程的思想
函數(shù)與方程的思想就是用函數(shù)的觀點(diǎn)、方法研究問(wèn)題，將非函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，通過(guò)對(duì)函數(shù)的研究，使問(wèn)題得以解決。通常是這樣進(jìn)行的：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，建立函數(shù)關(guān)系，研究這個(gè)函數(shù)，得出相應(yīng)的結(jié)論。中學(xué)數(shù)學(xué)中，方程、不等式等問(wèn)題都可利用函數(shù)思想得以簡(jiǎn)解。
例：如圖，在矩形ABCD中，AB＝2AD，線段EF＝10。在EF上取一點(diǎn)M，分別以EM，MF為一邊作矩形EMNH、矩形MFGN，使得矩形MFGN∽矩形ABCD。令MN＝x，當(dāng)x為何值時(shí)，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？
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分析：因?yàn)榫匦蜯FGN∽矩形ABCD，可得MF＝2x，那么EM＝EF－MF＝10－2x，所以S＝x（10－2x）＝-2（x-■）2+■，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，易得當(dāng)x-■時(shí)，S有最大值為■。
二、在教學(xué)實(shí)踐中加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)
中學(xué)數(shù)學(xué)的課程內(nèi)容是由具體的數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法組成的有機(jī)整體，現(xiàn)行數(shù)學(xué)教材的編排一般是沿知識(shí)的縱方向展開(kāi)的，大量的數(shù)學(xué)思想方法只是蘊(yùn)涵在數(shù)學(xué)知識(shí)的體系之中，并沒(méi)有明確的揭示和總結(jié)。這樣就產(chǎn)生了如何處理數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的問(wèn)題。進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)，必須在實(shí)踐中探索規(guī)律，以構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)原則。數(shù)學(xué)思想方法的構(gòu)建有三個(gè)階段：潛意識(shí)階段、明朗和形成階段、深化階段。一般來(lái)說(shuō)，應(yīng)以貫徹滲透性原則為主線，結(jié)合落實(shí)反復(fù)性、系統(tǒng)性和明確性的原則。它們相互聯(lián)系，相輔相成，共同構(gòu)成數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的指導(dǎo)思想。
1.滲透性原則
在具體知識(shí)教學(xué)中，一般不直接點(diǎn)明所應(yīng)用的數(shù)學(xué)思想方法，而是通過(guò)精心設(shè)計(jì)的學(xué)習(xí)情境與教學(xué)過(guò)程，著意引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)蘊(yùn)涵在其中的數(shù)學(xué)思想和方法，使他們?cè)跐撘颇羞_(dá)到理解和掌握。數(shù)學(xué)思想方法與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)雖然是一個(gè)有機(jī)整體，它們相互關(guān)聯(lián)，相互依存，協(xié)同發(fā)展，但是具體數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)并不能替代數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)。一般來(lái)說(shuō)，數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)總是以具體數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，在知識(shí)的教學(xué)過(guò)程中實(shí)現(xiàn)的。如果說(shuō)數(shù)學(xué)方法尚具有某種外在形式或模式，那么作為一類數(shù)學(xué)方法的概括的數(shù)學(xué)思想，卻只表現(xiàn)為一種意識(shí)或觀念，很難找到外在的固定形式。因此，數(shù)學(xué)思想方法的形式絕不是一朝一夕可以實(shí)現(xiàn)的，必須日積月累，長(zhǎng)期滲透才能逐漸為學(xué)生所掌握。如：在“有理數(shù)及其運(yùn)算”一章中，可以結(jié)合“數(shù)軸”教學(xué)，進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想的滲透；在“有理數(shù)的混合運(yùn)算”中可以滲透轉(zhuǎn)化的思想方法。
2.反復(fù)性原則
學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)會(huì)和掌握只能遵循從個(gè)別到一般，從具體到抽象，從感性到理性，從低級(jí)到高級(jí)的認(rèn)識(shí)規(guī)律。因此，這個(gè)認(rèn)識(shí)過(guò)程具有長(zhǎng)期性和反復(fù)性的特征。從一個(gè)較長(zhǎng)的學(xué)習(xí)過(guò)程看，學(xué)生對(duì)每種數(shù)學(xué)方法的認(rèn)識(shí)都是在反復(fù)理解和運(yùn)用中形成的，其間有一個(gè)由低級(jí)到高級(jí)的螺旋上升過(guò)程。如對(duì)同一數(shù)學(xué)思想方法，應(yīng)該注意其在不同知識(shí)階段的再現(xiàn)，以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)。另外，由于個(gè)體差異的存在，與具體的數(shù)學(xué)知識(shí)相比，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握往往表現(xiàn)出更大的不同步性。在教學(xué)中，應(yīng)注意給中差生更多的思考，接受理解的時(shí)間，逾越了這個(gè)過(guò)程，或人為地縮短，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生囫圇吞棗，長(zhǎng)此以往，會(huì)形成好的更好，差的更差的兩極分化局面。
3.系統(tǒng)性原則
數(shù)學(xué)思想方法是以具體數(shù)學(xué)內(nèi)容為載體，又高于具體數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。它能使人領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)的真諦，學(xué)會(huì)思考和解決問(wèn)題，并對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的思維活動(dòng)起著指導(dǎo)和調(diào)控的作用。數(shù)學(xué)作為中等職業(yè)學(xué)校的文化必修課之一，它的任務(wù)是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生的推理能力、抽象能力、分析能力和創(chuàng)造能力，使學(xué)生具有繼續(xù)學(xué)習(xí)的能力和創(chuàng)新精神，能夠盡快地適應(yīng)社會(huì)、服務(wù)社會(huì)。日本數(shù)學(xué)家米山國(guó)藏認(rèn)為：學(xué)生進(jìn)入社會(huì)以后，如果沒(méi)有什么機(jī)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)，那么作為知識(shí)的數(shù)學(xué)通常在出校門后不到一兩年就會(huì)忘掉，然而不管他們從事什么工作，那種銘刻在人腦中的數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，會(huì)長(zhǎng)期地在他們的生活和工作中發(fā)揮作用。因?yàn)樯鐣?huì)生活中有許多思維方法都和數(shù)學(xué)思想方法有著類似之處，所以在數(shù)學(xué)課程教學(xué)過(guò)程中要突出數(shù)學(xué)思想方法，這是當(dāng)前中職數(shù)學(xué)教育的必然要求，也是數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的體現(xiàn)。下面結(jié)合中等職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，以實(shí)例來(lái)說(shuō)明課堂教學(xué)滲透的四種基本數(shù)學(xué)思想方法。
一、數(shù)形結(jié)合思想
數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)思想方法，數(shù)形結(jié)合思想通過(guò)“以形助數(shù)，以數(shù)解形”?！皵?shù)”可以準(zhǔn)確澄清“形”的模糊，“形”能在直觀中啟迪“數(shù)”的運(yùn)算。正如華羅庚教授所言“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形無(wú)數(shù)時(shí)難入微”。在中等職業(yè)學(xué)校的數(shù)學(xué)教材中，數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)該是最常見(jiàn)、最常用的一種思維方法，甚至貫穿于第一冊(cè)（基礎(chǔ)模塊）教材的始終。從第一章用文氏圖來(lái)描述集合的運(yùn)算到第二章用二次函數(shù)的圖象詮釋一元二次不等式的解以及第三章開(kāi)始的基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，應(yīng)用函數(shù)的圖象來(lái)直觀地說(shuō)明函數(shù)的性質(zhì)?？梢哉f(shuō)，第一冊(cè)數(shù)學(xué)教材的教學(xué)內(nèi)容中，能讓我們真正體會(huì)到“數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬(wàn)事休”。
例如，在教材第68頁(yè)選擇題中的第3題：已知 a＝log0.50.6， b＝log■0.5， c＝log■■，則a，b，c滿足（）。
A. a＜b＜c B. b＜a＜c
C. a＜c＜bD. c＜a＜b
這道題是不同底數(shù)、不同真數(shù)的三個(gè)對(duì)數(shù)的比較。在不用計(jì)算器的情況下，要比較它們的大小關(guān)系，最好的辦法就是通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想方法，既形象又直觀，還能讓同學(xué)們?cè)僖淮伟盐諏?duì)數(shù)函數(shù)的圖象與其性質(zhì)之間的關(guān)系，體現(xiàn)其中規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合。
二、分類討論思想
分類討論思想是根據(jù)數(shù)學(xué)對(duì)象與本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)將數(shù)學(xué)對(duì)象區(qū)分為不同種類的數(shù)學(xué)思想。分類討論的思想是邏輯劃分的思想在解數(shù)學(xué)題中的應(yīng)用。它體現(xiàn)了化整為零、積零為整的思想與歸類整理的方法。有關(guān)分類討論思想的數(shù)學(xué)問(wèn)題往往具有明顯的邏輯性、探索性、綜合性，能訓(xùn)練學(xué)生的思維條理性和概括性。因此，在中職數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師應(yīng)啟發(fā)學(xué)生按不同的情況對(duì)同一對(duì)象進(jìn)行分類，幫助他們掌握好分類方法的原則，形成分類的思想。
例如：已知數(shù)的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－n 求an .
分析：此題是數(shù)列求和的相關(guān)問(wèn)題，項(xiàng)數(shù)n的取值對(duì)結(jié)果有著直接的影響，因此，對(duì)項(xiàng)數(shù)n進(jìn)行分類討論。
解：當(dāng)n＝1時(shí)， a1＝S1＝2×12－1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)， an＝Sn-Sn-1＝2n2－n－[2(n－1)2－(n－1)]＝4n－3.
在an ＝4n－3中，令n＝1得a1＝4×1－3＝S1＝1.
an ＝4n－3.
事實(shí)上，在教材的內(nèi)容中所體現(xiàn)的分類討論思想也無(wú)處不在：在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)y＝ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝ logax的圖象和性質(zhì)時(shí)，顯然對(duì)底數(shù)a的取值進(jìn)行了分類，分成a>1和0
三、轉(zhuǎn)化思想
轉(zhuǎn)化思想是把一種數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成另一種數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行思考的方法。把未知解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化到在已有知識(shí)范圍內(nèi)可以解決的問(wèn)題，使之得到有效的解決。正如數(shù)學(xué)家C·A·雅潔婭指出：“解題就是要把未解的題轉(zhuǎn)化為已經(jīng)解過(guò)的題?！睌?shù)學(xué)的解題過(guò)程就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過(guò)程。在教學(xué)中，要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到常用的很多數(shù)學(xué)方法實(shí)質(zhì)就是轉(zhuǎn)化的方法，確信轉(zhuǎn)化是可能的，而且是必須的。
例如：在教材第二章不等式中只介紹了一元二次不等式和絕對(duì)值不等式的解法，并未涉及分式不等式的求解方法，但在課后練習(xí)中卻出現(xiàn)了分式不等式的求解。針對(duì)教材這樣的內(nèi)容設(shè)置，筆者認(rèn)為就是要讓學(xué)生真正把握在求解不等式過(guò)程中所應(yīng)用的轉(zhuǎn)化思想。因此，在課堂教學(xué)中，再以下題為例：
求不等式■＞0的解。
分析：此類不等式為分式不等式，根據(jù)兩個(gè)因式之商大于零，所以符號(hào)必相同。解分式不等式可以轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)不等式組：2x－1＞0，3x＋5＞0， 或2x－1＜0，3x＋5＜0. 而這也正好是解一元二次不等式基本解的原理，所以對(duì)這個(gè)分式不等式也可以轉(zhuǎn)化為一元二次不等式：（2x－1）（3x＋5）>0，從而也能夠很快地歸納出一元一次分式不等式的解答規(guī)律。
四、函數(shù)思想
函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質(zhì)去分析問(wèn)題、轉(zhuǎn)化問(wèn)題和解決問(wèn)題。函數(shù)是描述客觀世界變化規(guī)律的重要數(shù)學(xué)模型，它體現(xiàn)了“聯(lián)系和變化”的辯證唯物主義觀點(diǎn)。一般地， 函數(shù)思想是構(gòu)造函數(shù)，從而利用函數(shù)的性質(zhì)解題。
例如：教材第66頁(yè)習(xí)題A中第2題：某公司現(xiàn)在的年利潤(rùn)是5000萬(wàn)元，預(yù)計(jì)每年增長(zhǎng)22%，問(wèn)預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)多少年該公司的年利潤(rùn)能達(dá)到12000萬(wàn)元？
分析：從問(wèn)題中可以看出年利潤(rùn)是年數(shù)的函數(shù)，故可以設(shè)經(jīng)過(guò)x年后，公司的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝5000（1＋22%）
x＝2時(shí)，y＝5000（1＋22%）2
……
從而建立數(shù)學(xué)模型。
解：經(jīng)x年后，公司利潤(rùn)為y＝5000（1＋22%）x.
這是指數(shù)函數(shù)。只要知道經(jīng)過(guò)的年數(shù)就可以計(jì)算該公司利潤(rùn)。而此題是知道年利潤(rùn)反過(guò)來(lái)求年數(shù)x，所以需要轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)函數(shù)， 使用計(jì)算器計(jì)算x≈4.4，因此預(yù)計(jì)經(jīng)過(guò)5年該公司的年利潤(rùn)能達(dá)到12000萬(wàn)元。
中等職業(yè)學(xué)校的學(xué)生將來(lái)走向職業(yè)崗位遇到的問(wèn)題，都是實(shí)際問(wèn)題。學(xué)會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題，工作才能做到事半功倍，得心應(yīng)手。正如在整個(gè)函數(shù)教學(xué)章節(jié)中，教材都設(shè)置了函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用舉例。教師在這些例題教學(xué)中，一定要有意識(shí)、有計(jì)劃、有目的地去揭示其中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生的函數(shù)思想。
初中數(shù)學(xué)的教學(xué)目的，一方面是讓學(xué)生學(xué)習(xí)必要的數(shù)學(xué)知識(shí)，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)的載體，學(xué)習(xí)一些數(shù)學(xué)思想方法。這是因?yàn)閿?shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)與技能中蘊(yùn)含的更深刻、更普遍的東西。具體的數(shù)學(xué)結(jié)果、適用的范圍是有限的，而一個(gè)正確方法的運(yùn)用，則可以產(chǎn)生絡(luò)繹不絕的新結(jié)果。數(shù)學(xué)思想方法是促進(jìn)知識(shí)的深化以及向能力轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)創(chuàng)新能力的橋梁?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)思想方法作為基礎(chǔ)，結(jié)合教學(xué)內(nèi)容有計(jì)劃地顯化數(shù)學(xué)思想方法，并讓學(xué)生用已獲得的數(shù)學(xué)方法探索新問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維能力，去觀察、分析、解決日常生活中的實(shí)際問(wèn)題。因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們需要關(guān)注數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和學(xué)習(xí)，深入淺出地進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)上的探索。
一、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地滲透數(shù)形結(jié)合的思想
數(shù)和形是數(shù)學(xué)的兩種基本表現(xiàn)形式，數(shù)是形的深刻描述，而形是數(shù)的直觀表現(xiàn)。抽象的數(shù)學(xué)概念和復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系，借助于圖形可以使之形象化、具體化、簡(jiǎn)單化；復(fù)雜的幾何形體也可以用簡(jiǎn)單的數(shù)量關(guān)系來(lái)表示。在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，數(shù)和形相互轉(zhuǎn)化以得到解決問(wèn)題的目的。因此，數(shù)形結(jié)合是一種最典型、最基本的數(shù)學(xué)方法。如在應(yīng)用題教學(xué)中，畫(huà)出線段圖，把問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系轉(zhuǎn)化為圖形，由圖直觀地揭示數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)形結(jié)合的方法，不僅能活躍學(xué)生的思維，拓寬學(xué)生的解題思路，提高解題能力，促進(jìn)思維的靈活性、創(chuàng)造性，獲得最優(yōu)化的解決方案，甚至可以激發(fā)學(xué)生的靈感，產(chǎn)生頓悟。
從數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系，可以說(shuō)數(shù)形結(jié)合的方法將數(shù)學(xué)推向了一個(gè)新的高度，利用坐標(biāo)，用代數(shù)的方法研究幾何問(wèn)題。如函數(shù)圖像的各種性質(zhì)探討，都是利用數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行研究的。平面直角坐標(biāo)系的引入，真正架起了數(shù)與形之間的橋梁，加強(qiáng)了數(shù)與形的相互聯(lián)系，成為解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一個(gè)強(qiáng)有力的工具。
二、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)建模的思想
所謂數(shù)學(xué)模型，是指對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活的某一特定事物，為了某個(gè)特定目的，做出必要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用數(shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，由它提供處理對(duì)象的最優(yōu)方法或控制。初中數(shù)學(xué)教學(xué)是以方程教學(xué)為主線的，因此初中數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際上也可以看做為數(shù)學(xué)模型的教學(xué)。初中生的生活經(jīng)驗(yàn)畢竟是有限的，許多實(shí)際問(wèn)題不可能事事與自己的經(jīng)歷直接相聯(lián)系。因而不能憑借生活經(jīng)驗(yàn)把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行解答，需要建立“問(wèn)題情境-建立模型-解釋、應(yīng)用與拓展”的思想方法。
在方程（組）教學(xué)中，要讓學(xué)生經(jīng)歷建模思想形成與應(yīng)用的過(guò)程，要關(guān)注實(shí)際問(wèn)題情境。現(xiàn)實(shí)生活中存在大量問(wèn)題涉及未知數(shù)，這就為學(xué)習(xí)方程（組）提供了充分的現(xiàn)實(shí)素材，對(duì)方程（組）的解法也是在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中進(jìn)行的，通過(guò)解決實(shí)際問(wèn)題反映出方程方程（組）既來(lái)自于實(shí)際又服務(wù)于實(shí)際。明確方程（組）是解決含有未知數(shù)問(wèn)題的重要數(shù)學(xué)工具。其中設(shè)未知數(shù)、列方程（組）是數(shù)學(xué)模型表示和解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵，而正確地理解問(wèn)題情境，分析其中的數(shù)量關(guān)系又是設(shè)未知數(shù)、列方程（組）的基礎(chǔ)。在教學(xué)中，要從多角度思考，借助圖形、表格、式子進(jìn)行分析，尋找等量關(guān)系，檢驗(yàn)方程的合理性，最終找到解決實(shí)際問(wèn)題的方案與結(jié)果。
三、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地滲透轉(zhuǎn)化遷移的思想
“從一種形式到另一種形式的轉(zhuǎn)變，是數(shù)學(xué)科學(xué)最有力的杠桿之一?！痹趯?shí)踐中，人們總是把要研究解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)移過(guò)程，歸結(jié)到一類已經(jīng)解決或比較容易解決的問(wèn)題中去，獲得解決問(wèn)題的方法。轉(zhuǎn)化遷移的思想方法是最常用的一種數(shù)學(xué)方法。如長(zhǎng)方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓形等圖形的面積計(jì)算都顯化了轉(zhuǎn)化遷移的思想方法。通過(guò)轉(zhuǎn)化，把未知轉(zhuǎn)化為已知，把復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單。
轉(zhuǎn)化這種變換又是可逆的雙向變換，如用字母表示數(shù)、分?jǐn)?shù)與小數(shù)互化，有時(shí)還需要交叉變換，如列方程解應(yīng)用題。列一元方程困難轉(zhuǎn)化為列多元方程可能就容易，而解多元方程最終還要轉(zhuǎn)化為解一元方程，這種“列”與“解”的互化很好地體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。對(duì)于方程的認(rèn)識(shí)具備一定積累后，要充分發(fā)揮學(xué)習(xí)心理學(xué)中正向遷移的積極作用，借助已有的對(duì)方程的認(rèn)識(shí)，可以為學(xué)習(xí)不等式提供一條合理的學(xué)習(xí)之路。
三、結(jié)合教學(xué)內(nèi)容，有意識(shí)地滲透統(tǒng)計(jì)的思想
統(tǒng)計(jì)主要研究現(xiàn)實(shí)生活中的數(shù)據(jù)，它通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析來(lái)幫助人們解決問(wèn)題。根據(jù)數(shù)據(jù)思考和處理問(wèn)題，通過(guò)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)事物發(fā)展規(guī)律是統(tǒng)計(jì)的基本思想。在教學(xué)中要特別注意，用樣本估計(jì)總體是歸納法在統(tǒng)計(jì)中的一種運(yùn)用。統(tǒng)計(jì)中常常采用從總體中抽出樣本，通過(guò)分析樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)和推測(cè)總體。
在教學(xué)中，除通過(guò)具體案例使學(xué)生認(rèn)識(shí)有關(guān)統(tǒng)計(jì)知識(shí)和統(tǒng)計(jì)方法外，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生感受滲透于統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法之中的統(tǒng)計(jì)思想，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)思想是統(tǒng)計(jì)知識(shí)和方法的源頭，正是這種思想指導(dǎo)下才產(chǎn)生相應(yīng)的知識(shí)與方法。
關(guān)鍵詞：聯(lián)想 創(chuàng)新 思維能力 思想方法
沒(méi)有理想和信仰的教育，必定是平庸的教育。素質(zhì)教育與舊式的數(shù)學(xué)教學(xué)很重要的區(qū)別在于授課不單是把學(xué)生當(dāng)成知識(shí)的容器，更應(yīng)在教學(xué)中注重?cái)?shù)學(xué)思想與方法的滲透。無(wú)論是學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程還是練習(xí)解答過(guò)程都應(yīng)是在所學(xué)知識(shí)的背景下應(yīng)用數(shù)學(xué)的思想方法在學(xué)習(xí)上的一種再創(chuàng)造、探索和思考的過(guò)程。這些思想方法及策略是學(xué)生將來(lái)走向社會(huì)必備的素養(yǎng)，這些素養(yǎng)將直接影響到學(xué)生將來(lái)能否適應(yīng)社會(huì)的需求。
1、 數(shù)形結(jié)合的思想方法
數(shù)形結(jié)合的思想可以使學(xué)生從數(shù)到形和從形到數(shù)的關(guān)系中體會(huì)數(shù)形間的密切關(guān)系，從而能利用形象直觀的圖形解決抽象的數(shù)量關(guān)系，使本來(lái)模糊不清的關(guān)系豁然開(kāi)朗，層次分明，從而思路流暢，解法簡(jiǎn)捷，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性思維方法及豐富的聯(lián)想力，所以它是數(shù)學(xué)中一種十分重要和基本的方法。
如：小學(xué)生剛開(kāi)始學(xué)數(shù)學(xué)，老師就得拿出幾個(gè)東西讓他們動(dòng)手去數(shù)，從而體會(huì)圖形中蘊(yùn)藏著數(shù)量。初中學(xué)生剛學(xué)負(fù)數(shù)時(shí)就借助溫度計(jì)的零下溫度、海平面以下155米的吐魯番盆地等形象生動(dòng)的具體圖形理解負(fù)數(shù)的定義及學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的必要性，讓學(xué)生感受我們的身邊到處是負(fù)數(shù)。數(shù)軸的引進(jìn)，使同學(xué)們自覺(jué)使用數(shù)與對(duì)應(yīng)圖形點(diǎn)的關(guān)系比較大小、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。運(yùn)用數(shù)軸使相反數(shù)、絕對(duì)值、有理數(shù)的加法等抽象問(wèn)題變成具體形象、有形可觀，從而大大減輕了學(xué)生學(xué)習(xí)的難度。
數(shù)形結(jié)合往往使問(wèn)題快捷準(zhǔn)確，使得抽象的數(shù)量關(guān)系與豐富多彩的圖形密切相關(guān)，看看我們的身邊，奇妙的蜂房、股票的走勢(shì)圖、建筑物的設(shè)計(jì)圖等，形中隱數(shù)，處處是數(shù)與形的完美結(jié)合。
2、方程的思想方法
方程思想是初中數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的一種數(shù)學(xué)思想，即通過(guò)已知與未知的聯(lián)系建立方程或方程組，并求解從而解決問(wèn)題。隨著新課程標(biāo)準(zhǔn)的實(shí)施，初中數(shù)學(xué)中純幾何證明漸漸被弱化，幾何知識(shí)的應(yīng)用更加突出，幾何中計(jì)算題比例增加，強(qiáng)調(diào)了幾何與代數(shù)間知識(shí)的滲透，運(yùn)用方程解幾何計(jì)算題是必不可少的。
例如：有關(guān)兩個(gè)互補(bǔ)或互余角的倍分關(guān)系的問(wèn)題；已知三角形的幾個(gè)內(nèi)角的比值，求三角形各內(nèi)角度數(shù)的問(wèn)題；有關(guān)多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和關(guān)系的問(wèn)題；在直角三角形中，利用勾股定理列方程；利用直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)三角形與原三角形相似的四個(gè)等積式來(lái)列方程；在三角形相似中，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊的比、對(duì)應(yīng)中線的比、對(duì)應(yīng)高線的比、周長(zhǎng)的比等于相似比，面積比等于相似比的平方等來(lái)列方程；利用面積相等、圓冪定理等。
可見(jiàn)方程的思想在幾何計(jì)算中有著廣泛的運(yùn)用，通過(guò)布列方程，在己知量與未知量之間搭起橋梁，使解題思路簡(jiǎn)單有序，它也是數(shù)形結(jié)合的又一體現(xiàn)。
3、函數(shù)的思想方法
函數(shù)的思想就是運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，是客觀世界中事物運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律在數(shù)學(xué)中的反映，它的本質(zhì)是變量之間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。
例如：實(shí)數(shù)與數(shù)軸間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；二元一次方程兩個(gè)未知數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；求代數(shù)式值時(shí)，賦予字母的每一個(gè)確定的值都對(duì)應(yīng)著代數(shù)式唯一確定的值；凸多邊形的邊數(shù)與內(nèi)角和的對(duì)應(yīng)關(guān)系；初中代數(shù)中正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)和二次函數(shù)的自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系；銳角的四個(gè)三角函數(shù)值與銳角角度的對(duì)應(yīng)關(guān)系；長(zhǎng)方形面積一定時(shí)，長(zhǎng)與寬的關(guān)系等。
整個(gè)數(shù)學(xué)的教學(xué)處處都滲透著函數(shù)的思想，讓學(xué)生從函數(shù)的運(yùn)動(dòng)變化中感受數(shù)的運(yùn)動(dòng)變化，從而使靜態(tài)的知識(shí)處在動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)、變化、發(fā)展的過(guò)程中，既豐富了同學(xué)們的想象力，又培養(yǎng)了辯證唯物主義的觀點(diǎn)。
4、分析與綜合的思想方法
利用分析與綜合的思想方法能避免教師說(shuō)教，讓學(xué)生經(jīng)歷討論和爭(zhēng)論后，自主分析和綜合所得出的結(jié)論，并清晰有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程。
如何分析題意，從運(yùn)算過(guò)程中找到突破口，采用巧妙方法，及時(shí)而正確地算出結(jié)果是非常重要的。所以復(fù)習(xí)時(shí)必須要求學(xué)生既能用一般方法解決問(wèn)題，又能用簡(jiǎn)便方法解決問(wèn)題，使學(xué)生們豁然開(kāi)朗、靈活解答、融會(huì)貫通。
5、分類討論的思想方法
在解決某些問(wèn)題的時(shí)候，需要將問(wèn)題所涉及的所有對(duì)象依照一定的標(biāo)準(zhǔn)分成若干類，然后逐類討論，得出結(jié)論。通過(guò)分類討論，可以加強(qiáng)學(xué)生全面、系統(tǒng)的思維能力，并拓寬思路。
在幾何中當(dāng)所給的圖形的位置和形狀不能確定時(shí)，就需要運(yùn)用分類討論的思想方法進(jìn)行解答。如等腰三角形的邊長(zhǎng)為4和9兩種，求周長(zhǎng)；又如數(shù)軸上與某個(gè)點(diǎn)的距離是5的點(diǎn)；又如某數(shù)的平方等于9，求這個(gè)數(shù)等。各種各樣的分類討論的情況有利于提高同學(xué)們空間想象能力、邏輯思維能力，從而避免偏激片面的不良思維品質(zhì)，提高學(xué)生的素質(zhì)能力。
6、聯(lián)想的思想方法
聯(lián)想是問(wèn)題轉(zhuǎn)化的橋梁。哲學(xué)家康德說(shuō)過(guò)：“每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，相似的思考往往能指導(dǎo)我們前進(jìn)”。牛頓看見(jiàn)萍果落地引發(fā)聯(lián)想最后發(fā)現(xiàn)了萬(wàn)有引力定律。教師必須重視培養(yǎng)學(xué)生的聯(lián)想思維，諸如類比聯(lián)想、化歸聯(lián)想、數(shù)形聯(lián)想、因果聯(lián)想等思想方法，使學(xué)生產(chǎn)生靈活思維，展開(kāi)聯(lián)想的翅膀飛翔。
7、 逆向思維的思想方法
用逆向思維的方法能激發(fā)學(xué)生思維的廣闊性。初中學(xué)生的思維活動(dòng)往往單純，只會(huì)按照習(xí)慣的思維定勢(shì)去分析問(wèn)題，遇到與逆向思維有關(guān)的問(wèn)題往往容易出錯(cuò)。如：兩個(gè)負(fù)數(shù)相加比兩個(gè)正數(shù)相加容易出錯(cuò)；加減法消元時(shí)，兩式相減比兩式相加容易出錯(cuò)；因式分解時(shí)常會(huì)對(duì)結(jié)果是否要乘開(kāi)又混淆不清。所以在平時(shí)教學(xué)中對(duì)加與減、乘和除、乘方與開(kāi)方、多項(xiàng)式的乘法與因式分解等，都應(yīng)運(yùn)用逆向思維的變換方式進(jìn)行運(yùn)算，從而提高同學(xué)們解題能力與靈活性，培養(yǎng)逆向思維，避免易錯(cuò)之處。
8、化歸的思想方法
數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)離不開(kāi)思維，數(shù)學(xué)探索需要通過(guò)思維來(lái)實(shí)現(xiàn)，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣，既符合新的課程標(biāo)準(zhǔn)，也是進(jìn)行數(shù)學(xué)素質(zhì)教育的一個(gè)切入點(diǎn)。
“數(shù)缺形，少直觀；形缺數(shù)，難入微”，數(shù)形結(jié)合的思想，就是研究數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，它是指把代數(shù)的精確刻劃與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法。
數(shù)形結(jié)合的思想貫穿初中數(shù)學(xué)教學(xué)的始終。數(shù)形結(jié)合思想的主要內(nèi)容體現(xiàn)在以下幾個(gè)方面：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖象）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問(wèn)題。（3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題。（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。采用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)。如果能將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，一些看似無(wú)法入手的問(wèn)題就會(huì)迎刃而解，產(chǎn)生事半功倍的效果。
數(shù)形結(jié)合的思想方法，不象一般數(shù)學(xué)知識(shí)那樣，通過(guò)幾節(jié)課的教學(xué)就可掌握。它根據(jù)學(xué)生的年齡特征，學(xué)生在學(xué)習(xí)的各階段的認(rèn)識(shí)水平和知識(shí)特點(diǎn)，逐步滲透，螺旋上升，不斷的豐富自身的內(nèi)涵。
教學(xué)中可以從以下幾個(gè)方面，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，通過(guò)類比、觀察、分析、綜合、抽象和概括，形成對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的的主動(dòng)應(yīng)用。
滲透數(shù)形結(jié)合的思想，養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合分析問(wèn)題的意識(shí)，每個(gè)學(xué)生在日常生活中都具有一定的圖形知識(shí)，如繩子和繩子上的結(jié)、刻度尺與它上面的刻度，溫度計(jì)與其上面的溫度，我們每天走過(guò)的路線可以看作是一條直線，教室里每個(gè)學(xué)生的坐位等等，我們利用學(xué)生的這一認(rèn)識(shí)基礎(chǔ)，把生活中的形與數(shù)相結(jié)合遷移到數(shù)學(xué)中來(lái)，在教學(xué)中進(jìn)行數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想的滲透，挖掘教材提供的機(jī)會(huì)，把握滲透的契機(jī)。如數(shù)與數(shù)軸，一對(duì)有序?qū)崝?shù)與平面直角坐標(biāo)系，一元一次不等式的解集與一次函數(shù)的圖象，二元一次方程組的解與一次函數(shù)圖象之間的關(guān)系等，都是滲透數(shù)形結(jié)合思想的很好機(jī)會(huì)。
如：直線是由無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)組成的集合，實(shí)數(shù)包括正實(shí)數(shù)、零、負(fù)實(shí)數(shù)也有無(wú)數(shù)個(gè)，因?yàn)樗鼈兊倪@個(gè)共性所以用直線上無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)來(lái)表示實(shí)數(shù)，這時(shí)就把一條直線規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，把這條直線就叫做數(shù)軸。建立了數(shù)與直線上的點(diǎn)的結(jié)合。即：數(shù)軸上的每個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)，每個(gè)實(shí)數(shù)都能在數(shù)軸上找到表示它的點(diǎn)，建立了實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，由此讓學(xué)生理解了相反數(shù)、絕對(duì)值的幾何意義。建立數(shù)軸后及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)軸來(lái)進(jìn)行有理數(shù)的比較大小，學(xué)生通過(guò)觀察、分析、歸納總結(jié)得出結(jié)論：通常規(guī)定右邊為正方向時(shí)，在數(shù)軸上的兩個(gè)數(shù)，右邊的總大于左邊的，正數(shù)大于零，零大于負(fù)數(shù)。讓學(xué)生理解數(shù)形結(jié)合思想在解決問(wèn)題中的應(yīng)用。為下面進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想奠定基礎(chǔ)。
結(jié)合探索規(guī)律和生活中的實(shí)際問(wèn)題，反復(fù)滲透，強(qiáng)化數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想，使學(xué)生逐步形成數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的數(shù)形結(jié)合的意識(shí)。并能在應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想的時(shí)候注意一些基本原則，如是知形確定數(shù)還是知數(shù)確定形，在探索規(guī)律的過(guò)程中應(yīng)該遵循由特殊到一般的思路進(jìn)行，從而歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論。
學(xué)習(xí)數(shù)形結(jié)合思想，增強(qiáng)解決問(wèn)題的靈活性，提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力在教學(xué)中滲透數(shù)形結(jié)合思想時(shí)，應(yīng)讓學(xué)生了解，所謂數(shù)形結(jié)合就是找準(zhǔn)數(shù)與形的契合點(diǎn)，根據(jù)對(duì)象的屬性，將數(shù)與形巧妙地結(jié)合起來(lái)，有效地相互轉(zhuǎn)化，就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵所在。
數(shù)形結(jié)合的結(jié)合思想主要體現(xiàn)在以下幾種：
（1）用方程、不等式或函數(shù)解決有關(guān)幾何量的問(wèn)題；
（2）用幾何圖形或函數(shù)圖象解決有關(guān)方程或函數(shù)的問(wèn)題；
（3）解決一些與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問(wèn)題；
（4）以圖象形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性問(wèn)題。
